<\/p>\n
\u201eCan\u2019t Stop!\u201c oder \u201ePig\u201c<\/p>\n
\u201eCan\u2019t Stop!<\/a>\u201c ist ein alter Spieleklassiker von Sid Sackson, Was ist das Spielprinzip?<\/p>\n Ein Spieler kann w\u00e4hrend seines Zuges eine zufallsbedingte Aktion Betrachten wir hier das Beispiel aus der Fernsehsendung \u201eSchlag den Das Ziel dieses 2-Personenspieles ist es, als Ein\u00a0 Zug jedes Spielers besteht aus dem W\u00e4hrend des Zuges eines Spielers hat dieser nach dem W\u00fcrfelwurf immer 2 1)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0<\/span><\/i> Der Spieler 2)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0<\/span><\/i> Der Spieler 3)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0<\/span><\/i> Falls der Bei dieser Art von Spiel steht man also st\u00e4ndig vor dem \u201eCan\u2019t Ich m\u00f6chte in diesem Artikel die Vorgehensweise f\u00fcr die Entwicklung einer Wir werden diese Strategie weiter unten entwickeln und erkennen m\u00fcssen, dass Daher wollen wir als erstes eine ganz einfache und nachvollziehbare Faustregel Fakten:<\/p>\n – ich kann pro Wurf im Mittel 3 – ich riskiere bei jedem Wurf – meine Gewinnchancen stehen Bei einer Wette mit Gewinnchancen von 5:1 kann ich also bis zu\u00a0 15 Punkte Die einfache Faustregel hei\u00dft also:<\/p>\n Falls deine Zwischensumme weniger als 15 Punkte betr\u00e4gt, so w\u00fcrfle noch Was bewirkt diese Faustregel nun und warum Einfach ausgedr\u00fcckt:<\/span><\/p>\n Diese Regel maximiert den Ertrag pro einzelnem Zug \u2013 sie maximiert Dies erkennt man leicht an folgendem Spieler1 ist am Zug und hat noch keinen In Einzelf\u00e4llen weicht die Faustregel also Um nun die optimale Strategie zu 1)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0<\/span><\/i> Der Spieler wird ge\u00e4ndert zu<\/p>\n 1a) Der Wir machen diese \u00c4nderung im Moment deshalb, um Zyklen zu vermeiden; wir Jetzt k\u00f6nnen wir uns daran machen und die Gewinnwahrscheinlichkeiten eines P(i,j,k) P(i,j,k,W) = \u00a0 P(i,j,k,S)\u00a0 \u00a0= Zu jedem Entscheidungszeitpunkt w\u00e4hle ich die Aktion W oder S mit der h\u00f6heren P(i,j,k) = MAX{ P(i,j,k,W) , Wenn ich stoppe, kommt mein Gegenspieler(der die gleiche Strategie nutzt) dran P(i,j,k,S) = 1 \u2013 \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 = 1 Wenn ich weiter w\u00fcrfle, gilt:<\/p>\n P(i,j,k,W) = denn wenn ich eine 1..5 w\u00fcrfle hat sich meine Zwischensumme entsprechend Bei den Summanden auf den rechten Seiten der Gleichungen f\u00fcr P(i,j,k,S) und Im Beispiel:<\/p>\n P(49,49,0) = P(49,j,k) = P(48,49,2) = P(48,49,1,S) = P(48,49,1,W) = Also P(48,49,1) = MAX { 0 , P(48,49,0,S) = P(48,49,0,W) = also P(48,49,0) = \u00a0 29\/36 usw.<\/p>\n Diese Berechnungen sind langwierig und aufwendig, daher gibt es am Ende auch Zuguterletzt m\u00f6chte ich nun die Regel 1a) von oben wieder fallen lassen und P(i,j,k,W) = Die Summe<\/b> der Parameter <i> und <j> auf der rechten Seite Im Beispiel:<\/p>\n P(49,49,1) P(49,49,0,S) = \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 1\u00a0 – P(49,49,0);<\/span><\/p>\n P(49,49,0,W) = \u00a0\u00a0\u00a0 1\/6 * [ 1+1+1+1+1+ ( 1 \u2013 P(49,49,0))]\u00a0 = 1 P(49,49,0) = Also P(49,49,0) = 6\/7\u00a0 (es ist nat\u00fcrlich klar, dass ich immer mindestens Ein weiteres, kleines M\u00fcnzwurf-Beispiel:<\/u><\/p>\n Eine M\u00fcnze wird geworfen: Bei Zahl erh\u00e4lt man einen Siegpunkt in die Anbei alle Wahrscheinlichkeiten P(i,j,k,S) und P(i,j,k,W);<\/p>\n Wahrscheinlichkeiten: I=Ich, G=Gegner, Z=Zwischensumme<\/p>\n I-G-Z == 2-2-0 == 33,3%–66,7%\u00a0<\/p>\n 2-1-0 == 60,0%–80,0%\u00a0<\/p>\n 2-0-0 == 77,8%–88,9%\u00a0<\/p>\n 1-2-1 == 33,3%–60,0%\u00a0<\/p>\n 1-2-0 == 20,0%–40,0%\u00a0<\/p>\n 1-1-1 == 60,0%–71,4%\u00a0<\/p>\n 1-1-0 == 42,9%–57,1%\u00a0<\/p>\n 1-0-1 == 77,8%–81,8%\u00a0<\/p>\n 1-0-0 == 63,6%–72,7%\u00a0<\/p>\n 0-2-2 == 33,3%–55,6%\u00a0<\/p>\n 0-2-1 == 20,0%–33,3%\u00a0<\/p>\n 0-2-0 == 11,1%–22,2%\u00a0<\/p>\n 0-1-2 == 60,0%–63,6%\u00a0<\/p>\n 0-1-1 == 42,9%–45,5%\u00a0<\/p>\n 0-1-0 == 27,3%–36,4%\u00a0<\/p>\n 0-0-2 == 77,8%–72,7%—– nur hier<\/p>\n 0-0-1 == 63,6%–61,6%—– und hier sind W(Stop) 0-0-0 == \u00a0<\/span><\/p>\n Nur f\u00fcr den Startspieler ganz am Anfang beim Stand 0:0 lohnt es sich nach dem Damit bin ich nun am Ende; die vollst\u00e4ndige Strategie-Beschreibung f\u00fcr das Ich<\/p>\n<\/td>\n Gegner<\/p>\n<\/td>\n \nZwischensumme<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n >= 30<\/p>\n<\/td>\n Egal<\/p>\n<\/td>\n Egal<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n 20 … 30<\/p>\n<\/td>\n >= 20<\/p>\n<\/td>\n Egal<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n 20 … 30<\/p>\n<\/td>\n < 20<\/p>\n<\/td>\n <=10<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n 10 … 20<\/p>\n<\/td>\n > 30<\/p>\n<\/td>\n Egal<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n 10 … 20<\/p>\n<\/td>\n <= 30<\/p>\n<\/td>\n <= 17<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n 0 … 10<\/p>\n<\/td>\n > 35<\/p>\n<\/td>\n Egal<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n 0 … 10<\/p>\n<\/td>\n 20 … 35<\/p>\n<\/td>\n <= 20<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n 0 … 10<\/p>\n<\/td>\n < 20<\/p>\n<\/td>\n <= 17<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n (diese Strategie ist im Mittel etwa 1% schlechter Mit dem folgenden kleinen Programm k\u00f6nnt ihr Strategien berechnen und gegen Die folgenden Parameter kannst du nur vor dem Start eines neuen Spieles \u00e4ndern:<\/p>\n Dann den Start\/Reset Button dr\u00fccken – ein neues Spiel wird begonnen! (beim ersten Spiel mit Falls du die “W\u00fcrfelzahl f\u00fcr Abbruch” gew\u00fcrfelt hast, so wird dein Zug automatisch Unter “Wurfserie” wird immer die letzte Wurfserie der Spieler angezeigt. Deine aktuell
\nder immer wieder in neuen Auflagen auf den Markt\u00a0 gebracht wird. Das Grundprinzip des Spieles
\nwird von vielen anderen Spielen genutzt, so auch vom W\u00fcrfelspiel \u201ePig<\/a>\u201c, das in etwas
\nabgewandelter Form mehrfach bei \u201eSchlag den Raab\u201c gespielt wurde.<\/p>\n
\n\u201ebeliebig\u201c oft durchf\u00fchren oder seinen Zug beenden und seinen Status absichern. F\u00fchrt
\nman eine Aktion durch, so hat sie als Ergebnis entweder eine Verbesserung der Spielposition zur
\nFolge oder\u00a0 die Beendigung des Zuges mit Verlust aller in diesem Zug erworbenen Vorteile.<\/p>\n
\nRaab\u201c:<\/p>\n
\nerster 50 Punkte zu erreichen.<\/p>\n
\nmehrmaligen\u00a0 W\u00fcrfeln eines normalen 6-seitigen W\u00fcrfels. Beide Spieler wechseln sich
\nnacheinander ab, bis einer mit 50 Punkten das Spiel gewinnt.<\/p>\n
\nM\u00f6glichkeiten: Beenden des Zuges oder noch einmal W\u00fcrfeln \u2013 mit diesen
\nErgebnism\u00f6glichkeiten:<\/p>\n
\nhat eine 6 gew\u00fcrfelt: der Zug ist sofort beendet und der Gegner ist am Zug. Die gesamte
\nZwischensumme dieses Zuges ist verloren!<\/i><\/p>\n
\nhat 1..5 gew\u00fcrfelt: Der Wurf\u00a0 wird zur Zwischensumme dieses Zuges addiert. Der Spieler hat das
\nRecht, noch einmal zu w\u00fcrfeln.<\/i><\/p>\n
\nSpieler aber nicht noch einmal w\u00fcrfeln sondern seinen Zug beenden will, so wird die Zwischensumme
\ndieses Zuges zu seinen Siegpunkten hinzugez\u00e4hlt und der Gegner ist am Zug. Diese Siegpunkte k\u00f6nnen
\njetzt nicht mehr verloren gehen!<\/i><\/p>\n
\nStop!\u201c Dilemma: Soll ich jetzt meinen Zug abbrechen und mein bisheriges Ergebnis absichern,
\noder soll ich doch noch ein oder zwei weitere W\u00fcrfelw\u00fcrfe riskieren??<\/p>\n
\noptimalen Strategie f\u00fcr den \u201eCan\u00b4t Stop! Effekt\u201c darlegen:<\/p>\n
\ndie exakte, optimale Strategie manchmal recht umfangreich und komplex sein kann. Hat man allerdings
\ndie exakte Strategie, so kann man daraus dann eine verbesserte Faustregel ableiten!<\/p>\n
\nf\u00fcr das oben beschriebene W\u00fcrfelspiel entwickeln.<\/p>\n
\nPunkte gewinnen ( = (1+2+3+4+5) \/ 5 )<\/p>\n
\nmeine aktuelle Zwischensumme<\/p>\n
\n5:1<\/p>\n
\neinsetzen um im Mittel jeweils 3 Punkte zus\u00e4tzlich zu gewinnen!!<\/p>\n
\neinmal; anderenfalls beende deinen Zug sofort!<\/p>\n
\nist sie nicht optimal?<\/span><\/p>\n
\naber nicht die Gewinnwahrscheinlichkeit des Spielers!<\/p>\n
\nBeispiel:<\/span><\/p>\n
\nSiegpunkt; sein Gegner hat aber schon 49 Punkte. Man sieht leicht ein, dass man hier viel mehr als
\nnur 15 Punkte riskieren sollte, da der Gegner schon so nahe am Sieg ist. Bei optimaler Strategie
\nsollte man hier tats\u00e4chlich versuchen ohne abzubrechen in einem Zug die 50 Punkte zu erreichen!
\n(Aber auch das kann man nicht verallgemeinern: Manchmal ist es auch bei einem gro\u00dfen Vorsprung des
\nGegners besser, nicht zuviel auf einmal zu versuchen …)<\/span><\/p>\n
\nextrem von der optimalen Strategie ab \u2013 im Mittel \u00fcber viele Spiele erzielt sie aber nur etwa
\n5% schlechtere Gewinnwahrscheinlichkeiten!<\/span><\/p>\n
\nberechnen, vereinfachen wie die Spielregeln noch ein klein wenig:<\/span><\/p>\n
\nhat eine 6 gew\u00fcrfelt: der Zug ist sofort beendet und der Gegner ist am Zug. Die gesamte
\nZwischensumme dieses Zuges ist verloren!<\/i><\/p>\n
\nSpieler hat eine 6 gew\u00fcrfelt: der Zug ist sofort beendet und der Gegner ist am Zug. Der Spieler
\nbekommt einen Siegpunkt gutgeschrieben(auch wenn er ohne zu W\u00fcrfeln abbricht)!<\/p>\n
\ngelangen also im Laufe des Spieles nie zu einem fr\u00fcheren Zustand zur\u00fcck.<\/p>\n
\nSpielers zu maximieren, wenn er am Zug ist; sei<\/p>\n
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0= Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, wenn ich <i> Siegpunkte habe,
\nmein Gegner <j> Siegpunkte hat und meine aktuelle Zwischensumme <k> betr\u00e4gt.<\/p>\n
\nWahrscheinlichkeit zu gewinnen, wenn ich mich entschieden habe, noch einmal zu W<\/b>\u00fcrfeln
\n(i,j,k wie oben).<\/p>\n
\nWahrscheinlichkeit zu gewinnen, wenn ich mich entschieden habe, NICHT noch einmal zu W\u00fcrfeln, also
\nzu S<\/b>toppen,\u00a0 (i,j,k wie oben). Ich habe dann i+k Siegpunkte.<\/p>\n
\nGewinnwahrscheinlichkeit P(i,j,k,W) oder P(i,j,k,S), also<\/p>\n
\nP(i,j,k,S) }<\/span><\/p>\n
\nund ich gewinne nur dann, wenn er verliert:<\/p>\n
\nP(j,i+k,0)\u00a0\u00a0 , k > 0<\/span><\/p>\n
\n\u2013 P(j,i+1,0)\u00a0\u00a0 , k = 0<\/span><\/p>\n
\n1\/6 * [ P(i,j,k+1) + P(i,j,k+2) + P(i,j,k+3) + P(i,j,k+4) + P(i,j,k+5) + ( 1 \u2013
\nP(j,i+1,0))]<\/span><\/p>\n
\nerh\u00f6ht; wenn ich eine 6 w\u00fcrfle, bekomme ich einen Siegpunkt gutgeschrieben und mein Gegner ist
\ndran, der mit P(j,i+1,0) gewinnt.<\/p>\n
\nP(i,j,k,W) ist nun entweder der Parameter <k> gr\u00f6\u00dfer<\/b> geworden bei gleichem <i>
\nund <j> oder die Summe<\/b> der Parameter <i> und <j> ist gr\u00f6\u00dfer<\/b>
\ngeworden! Man kann also die Werte f\u00fcr P(i,j,k,S) und P(i,j,k,W) nacheinander r\u00fcckw\u00e4rts berechnen;
\nzuerst die Werte mit maximalem i+j und maximalem k, dann das n\u00e4chst kleinere k bis k=0, dann die
\nSumme i+j um 1 reduzieren , usw. (Dieses Verfahren nennt man in der Mathematik \u201edynamische
\nProgrammierung\u201c).<\/p>\n
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 1\u00a0\u00a0\u00a0 (man bekommt ja mindestens
\neinen Punkt und gewinnt)<\/p>\n
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 1\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0
\n(dito)<\/span><\/p>\n
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 1\u00a0\u00a0 (ich habe ja 48+2 Punkte beim
\nStoppen)<\/p>\n
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 1 \u2013 P(49,49,0) = 1 \u2013 1 = 0<\/p>\n
\n\u00a0\u00a0\u00a0 1\/6 * [ 1+1+1+1+1+ ( 1 \u2013 P(49,49,0)] = 5\/6<\/p>\n
\n5\/6} = 5\/6<\/p>\n
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 0\u00a0 (wenn der Gegner dran kommt, macht er aus 49 Punkten
\nmindestens 50)<\/p>\n
\n\u00a0\u00a0\u00a0 1\/6 * [P(48,49,1) + 1+1+1+1+ ( 1 \u2013 P(49,49,0) ] = 1\/6 * [ 5\/6 + 4 ] =
\n29\/36<\/p>\n
\n!<\/p>\n
\nein kleines Programm, mit welchem man diese Strategien berechnen und testen kann!<\/p>\n
\nzur\u00fcck auf Regel 1)<\/b> gehen. Wir k\u00f6nnen jetzt tats\u00e4chlich auch Schleifen bekommen:<\/p>\n
\n1\/6 * [ P(i,j,k+1) + P(i,j,k+2) + P(i,j,k+3) + P(i,j,k+4) + P(i,j,k+5) + ( 1 \u2013
\nP(j,i,0))]<\/span><\/p>\n
\nist jetzt gr\u00f6\u00dfer<\/b> oder gleich<\/b> der Summe auf der linken Seite. Trotzdem kann man diese
\nGleichungen (wenn auch aufwendiger) l\u00f6sen; ein m\u00f6gliches (N\u00e4herungs-)Verfahren hierzu ist die
\nWerte-Iteration. Wir werden dieses Verfahren hier nicht n\u00e4her erkl\u00e4ren, da das etwas zu weit f\u00fchren
\nw\u00fcrde; das Programm am Ende dieses Artikels benutzt aber dieses Verfahren.<\/p>\n
\n= \u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 1<\/span><\/p>\n
\n\u2013 1\/6 * P(49,49,0)<\/span><\/p>\n
\n\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 MAX { 1 \u2013 P(49,49,0) , 1 \u2013 1\/6 * P(
\n49,49,0)} = 1 \u2013 1\/6 * P(49,49,0)<\/p>\n
\n!\u00a0 ( und damit P(49,49,S) = 1\/7 )<\/p>\n
\neinmal W\u00fcrfeln muss!)<\/p>\n
\nZwischensumme; bei Kopf geht die komplette Zwischensumme verloren und der Mitspieler ist am Zug.
\nMan kann jederzeit stoppen; wer zuerst 3 Siegpunkte hat, gewinnt!<\/p>\n
\nW(Stop)–W(Wurf)<\/span><\/p>\n
\n> W(Wurf)<\/p>\n
\n45,5%–54,5%\u00a0<\/span><\/p>\n
\nWurf einer Zahl zu stoppen; ansonsten sollte man immer weiter spielen!<\/p>\n
\n\u201eSchlag den Raab\u201c Beispiel findet ihr unter diesem Link <HIER<\/a>>. Hieraus kann man sich selbst verbesserte Faustregeln generieren;
\nz.B. in den in der folgenden Tabelle aufgef\u00fchrten F\u00e4llen weiterw\u00fcrfeln \u2013 sonst stoppen:<\/p>\n\n
\n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n \n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n \n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n \n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n \n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n \n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n \n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n \n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n \n <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n
\nals die optimale Strategie)<\/p>\n
\nden<\/b> Computer spielen<\/b> (Genauigkeit der Berechnungen: 0,1%; Strategien k\u00f6nnen in diesem
\nRahmen also minimal vom Optimum abweichen)!<\/p>\n\n
\nso kannst du das hier einstellen<\/li>\n
\ndiesem Zug erreichten Punkte gehen verloren.<\/li>\n<\/ul>\n
\nneuen Parametern kann dies etwas dauern, da die Computerstrategien neu berechnet werden) Dr\u00fccke den
\n“W\u00fcrfeln”-Button, solange du weiterw\u00fcrfeln m\u00f6chtest. M\u00f6chtest du abbrechen und deine
\nZwischensumme sichern, so dr\u00fccke den “Stop!”-Button.<\/p>\n
\nbeendet – du mu\u00dft aber noch den “Stop!”-Button dr\u00fccken, damit dann der Computer seinen
\nZug beginnt.<\/p>\n
\ngew\u00fcrfelte Zahl und deine Gewinnwahrscheinlichkeit(bei optimalen Folgez\u00fcgen) wird links neben dem
\nW\u00fcrfel-Button angezeigt.<\/p>\n