{"id":3968,"date":"2003-05-11T16:54:17","date_gmt":"2003-05-11T14:54:17","guid":{"rendered":"https:\/\/www.westpark-gamers.de\/blog\/?p=3968"},"modified":"2026-07-15T16:57:35","modified_gmt":"2026-07-15T14:57:35","slug":"mini-maexchen-und-mikro-bluff-mit-2-personen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.westpark-gamers.de\/blog\/2003\/05\/11\/mini-maexchen-und-mikro-bluff-mit-2-personen\/","title":{"rendered":"Mini-M\u00e4xchen und Mikro-Bluff mit 2 Personen"},"content":{"rendered":"

G\u00fcnther Rosenbaum<\/strong><\/p>\n

M\u00e4xchen\u00a0<\/a> und\u00a0Bluff<\/a>(von Richard Borg, FX Schmid, 1993)\/Liars\u00a0Dice<\/a>(MB, 1974) sind bekannte W\u00fcrfelspiele. M\u00e4xchen habe ich schon als Jugendlicher gespielt und Bluff\/Liar\u00b4s Dice ist auch heute an geselligen Spieleabenden immer wieder auf dem Tisch.<\/p>\n

In der amerikanischen mathematischen Literatur findet man auch Analysen des Spieles\u00a0Liar\u00b4s\u00a0Dice\u00a0\u2013 aber Vorsicht \u2013 hier ist das bei uns unter dem Namen\u00a0M\u00e4xchen\u00a0(oder Meier) bekannte Spiel gemeint. Literatur \u00fcber Bluff habe ich nicht gefunden.<\/p>\n

In unseren Spielrunden kommt immer wieder mal die Diskussion hoch, welches denn nun die beste Strategie im Endspiel bei Bluff w\u00e4re und der eine oder andere behauptet dann auch mal inbr\u00fcnstig, dieses oder jenes Verhalten w\u00e4re das optimale!<\/b><\/strong><\/p>\n

Den (mathematischen) Beweis schuldig geblieben sind bisher jedoch alle \u2013 und auch eine plausible, einfache Strategie hat bisher noch keiner angegeben!<\/strong><\/p>\n

Gerade wegen dieser angeregten Diskussionen stellt sich dem ingefleischten\u00a0Spielefreak\u00a0da nat\u00fcrlich die Frage nach einer optimalen Strategie f\u00fcr diese Spiele. Diese ist leider nicht so einfach zu finden \u2013 die Theorie best\u00e4tigt uns hier allerdings zumindest die Existenz einer solchen (gemischten) optimalen Strategie f\u00fcr 2 Personen.<\/p>\n

Daher betrachten wir hier zuerst mal eine vereinfachte Version des Spieles\u00a0M\u00e4xchen\u00a0\u2013\u00a0Mini-M\u00e4xchen\u00a0f\u00fcr 2 Personen:<\/strong><\/p>\n

Es wird mit einem W\u00fcrfel gespielt. Spieler 1 w\u00fcrfelt verdeckt, sagt eine W\u00fcrfelzahl an und behauptet, dass er mindestens diese Zahl gew\u00fcrfelt hat.<\/i><\/em><\/p>\n

    \n
  1. a) Spieler 2 kann dieses anzweifeln \u2013 in diesem Fall wird aufgedeckt und falls die behauptete Zahl gr\u00f6\u00dfer als die gew\u00fcrfelte Zahl ist gewinnt Spieler 2 ansonsten Spieler 1.<\/i><\/em><\/li>\n
  2. b) Spieler 2 kann diese Behauptung auch glauben \u2013 dann muss er erneut W\u00fcrfeln und einen h\u00f6heren Wert behaupten. Spieler 1 kann dann wieder glauben oder anzweifeln, u.s.w.<\/i><\/em><\/li>\n<\/ol>\n

    Dieses Spiel sieht sehr einfach aus \u2013 trotzdem ist die optimale Strategie nicht trivial.<\/p>\n

    Zu beachten ist hierbei, dass das Spiel ja das Zufallselement \u201eW\u00fcrfel\u201c beinhaltet \u2013 wir k\u00f6nnen (im Allgemeinen) also keine Strategie angeben mit der wir immer gewinnen. Stattdessen suchen wir eine Strategie, bei welcher wir bei h\u00e4ufiger Wiederholung des Spieles m\u00f6glichst oft gewinnen!<\/p>\n

    Zuerst betrachten wir folgende (nicht optimale, aber einfache) Strategie:<\/i><\/em><\/p>\n

    Spieler 1: Sagt in der ersten Runde immer die Wahrheit und zweifelt bei einer Folgerunde immer an.<\/p>\n

    Spieler 2: Glaubt die Behauptung von Spieler 1 immer (au\u00dfer die 6) und versucht besser zu w\u00fcrfeln.<\/p>\n

    Analyse:<\/p>\n

    Was ist die optimale Gegenstrategie f\u00fcr Spieler 2?<\/i><\/em><\/p>\n

    Da Spieler 1 immer die Wahrheit sagt, braucht Spieler2&xnbsp; also nie anzuzweifeln; da Spieler 1 in der zweiten Runde immer anzweifelt\/aufdeckt, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit f\u00fcr Spieler 2: {Spieler1 sagt 1 und Spieler 2 w\u00fcrfelt 2..6} + {Spieler 1 sagt 2 und Spieler 2 w\u00fcrfelt 3..6} + … = 1\/6 * {5\/6 + 4\/6 + 3\/6 + 2\/6 + 1\/6 + 0} = 15\/36 .<\/p>\n

    Spieler 1 hat also eine Gewinnwahrscheinlichkeit von mindestens 21\/36!<\/p>\n

    Was ist nun die optimale Gegenstrategie f\u00fcr Spieler 1?<\/i><\/em><\/p>\n

    Da Spieler 2 ja immer alles glaubt (au\u00dfer die 6), ist es f\u00fcr Spieler 1 nat\u00fcrlich das Beste, die Chancen f\u00fcr das Nachw\u00fcrfeln des Spielers 2 zu minimieren \u2013 er behauptet also bei 1..5 immer, mindestens eine 5 gew\u00fcrfelt zu haben. Spieler 2 kann nun mit 1\/6 Wahrscheinlichkeit noch eine 6 w\u00fcrfeln und gewinnen. Spieler 1 gewinnt also mit Wahrscheinlichkeit von h\u00f6chstens 1\/6 * (5 * 5\/6 +1) = 31\/36!<\/p>\n

    Ergebnis:<\/p>\n

    Wir sehen, die Strategie von Spieler 2 ist die optimale Gegenstrategie zu Spieler 1 aber nicht umgekehrt! Die beiden Strategien stehen also nicht im gegenseitigen Gleichgewicht zueinander \u2013 sie sind also nicht optimal!<\/p>\n

    Nun zur optimalen Strategie:<\/b><\/strong><\/p>\n

    Spieler 1 gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 41\/60 (=Wert des Spieles).<\/p>\n

    Strategie Spieler 1:<\/i><\/em><\/p>\n

    Wurf 1 -> er behauptet 3 bzw. 4 bzw. 5 mit den Wahrscheinlichkeiten 3\/10, 5\/10, 2\/10.<\/p>\n

    (d.h. bei 1 l\u00fcgt er immer!)<\/p>\n

    Wurf 2 -> er behauptet 2 bzw. 3 mit den Wahrscheinlichkeiten 3\/10, 7\/10<\/p>\n

    Wurf 3, 4, 5, 6 -> er sagt die Wahrheit<\/p>\n

    In der zweiten Runde zweifelt Spieler 1 alles an!<\/p>\n

    Strategie Spieler 2:<\/i><\/em><\/p>\n

    Vorgabe 1 oder 2 ->\u00a0 immer glauben und nachw\u00fcrfeln<\/p>\n

    Vorgabe 3\u00a0 -> mit 1\/3 Wahrscheinlichkeit anzweifeln, sonst glauben<\/p>\n

    Vorgabe 4-> mit 1\/2 Wahrscheinlichkeit anzweifeln, sonst glauben<\/p>\n

    Vorgabe 5 -> mit 3\/5 Wahrscheinlichkeit anzweifeln, sonst glauben<\/p>\n

    Vorgabe 6 -> immer anzweifeln<\/p>\n

    Falls Spieler 2 glaubt und nachw\u00fcrfelt, so sagt er dann die nachgew\u00fcrfelte Zahl an, sofern diese gen\u00fcgend hoch ist. Andernfalls erh\u00f6ht er das Gebot des Vorg\u00e4ngers um 1.<\/p>\n

    In einer zweiten Runde zweifelt Spieler 2 alles an!<\/p>\n

    Beweis:<\/b><\/strong><\/p>\n

    1) Wir nehmen jetzt an, Spieler 1 nutzt die angegebene Strategie und wir suchen jetzt die optimale Gegenstrategie.<\/p>\n

      \n
    1. a)Wenn Spieler 2 die 6 h\u00f6rt, dann hat Spieler1 auch die 6 und Spieler 2 verliert beim zweifeln.<\/li>\n
    2. b)Spieler 2 h\u00f6rt als Ansage die 5. Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 wirklich die 5 hat ist P(Spieler1 hat 5 | Spieler 1 sagt 5)
      \n= P(Spieler 1 hat 5 und sagt 5)\/P(Spieler 1 sagt 5)
      \n= (1\/6 ) \/ (1\/6 + 1\/6 * 2\/10)
      \n= (1\/6) \/ (1\/5)
      \n= 5\/6
      \nWenn Spieler 2 anzweifelt, so gewinnt er also mit Wahrscheinlichkeit 1\/6;
      \nglaubt Spieler 2 das Gebot von 5, so kann er noch mit Wahrscheinlichkeit 1\/6 eine 6 nachw\u00fcrfeln und gewinnen. Beide Wahlm\u00f6glichkeiten sind f\u00fcr Spieler 2 gleich schlecht \u2013\u00a0dieses Prinzip der \u201eIndifferenz\u201c<\/b><\/strong>\u00a0zwischen den sinnvollen Wahlm\u00f6glichkeiten ist charakteristisch f\u00fcr optimale Strategien!<\/li>\n
    3. c)Spieler 2 h\u00f6rt als Ansage die 4. Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 wirklich die 4 hat ist
      \nP(Spieler1 hat 4 | Spieler 1 sagt 4)
      \n= P(Spieler 1 hat 4 und sagt 4)\/P(Spieler 1 sagt 4)
      \n= (1\/6) \/ ( 1\/6 + 1\/6 * \u00bd) = (1\/6) \/ (1\/4)
      \n= 2\/3
      \nWenn Spieler 2 anzweifelt, so gewinnt er also mit Wahrscheinlichkeit 1\/3;
      \nglaubt Spieler 2 das Gebot von 4, so kann er noch mit Wahrscheinlichkeit 1\/3 eine 5 oder 6 nachw\u00fcrfeln und gewinnen \u2013 denn Spieler 1 wird auf jeden Fall anzweifeln und ein Bluffen wird also nicht wirken.<\/li>\n
    4. d)Spieler 2 h\u00f6rt als Ansage die 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 wirklich die 3 hat ist
      \nP(Spieler1 hat 3 | Spieler 1 sagt 3)
      \n= P(Spieler 1 hat 3 und sagt 3)\/P(Spieler 1 sagt 3)
      \n= (1\/6) \/ ( 1\/6 + 1\/6 * 3\/10 + 1\/6 * 7\/10) = (1\/6) \/ (1\/3)
      \n= 1\/2
      \nWenn Spieler 2 anzweifelt, so gewinnt er also mit Wahrscheinlichkeit 1\/2;
      \nglaubt Spieler 2 das Gebot von 3, so kann er noch mit Wahrscheinlichkeit 1\/2 eine 4, 5 oder 6 nachw\u00fcrfeln und gewinnen.<\/li>\n
    5. e)Spieler 2 h\u00f6rt als Ansage die 2. Spieler 1 sagt also die Wahrheit, Spieler 2 glaubt und w\u00fcrfelt mit Wahrscheinlichkeit 2\/3 etwas Besseres.<\/li>\n
    6. f)Die Ansage 1 wird von Spieler 1 nie angesagt.<\/li>\n
    7. g)Was ist nun die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 1 bei optimaler Gegenstrategie von Spieler 2?
      \nH\u00f6rt Spieler 2 eine Ansage von 3 bis 6 von Spieler 1, so k\u00f6nnen wir annehmen, dass Spieler 2 anzweifelt, da er ja gleich hohe Gewinnwahrscheinlichkeiten beim Zweifeln und Glauben hat. Spieler 1 gewinnt also, wenn er\u00a03 ..\u00a06 sagt und nicht gelogen hat.
      \nDies ist genau dann der Fall, wenn er 3, 4, 5 oder 6 gew\u00fcrfelt hat (Wahrscheinlichkeit 2\/3).
      \nZus\u00e4tzlich ist noch der Fall zu betrachten, dass Spieler 1 eine 2 w\u00fcrfelt (1\/6) und auch eine 2 ansagt (3\/10) und dann noch Spieler 2 nichts besseres w\u00fcrfelt (1\/3).
      \nAlso ist die Gewinnwahrscheinlichkeit f\u00fcr Spieler 1 mindestens
      \n= 2\/3 + 1\/6 * 3\/10 * 1\/3 = 2\/3 + 1\/60 = 41\/60 !!<\/li>\n<\/ol>\n

      2) Als zweites nehmen wir jetzt an, Spieler 2 nutzt die angegebene Strategie und wir suchen jetzt die optimale Gegenstrategie von Spieler 1. (D.h. wir suchen die maximale Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 1.)<\/p>\n

        \n
      1. a)Nehmen wir an, Spieler 1 wirft eine 1 oder 2.
        \nBlufft er und sagt eine 3, 4 oder 5 an, so gewinnt er, wenn Spieler 2 dies glaubt und nichts besseres w\u00fcrfelt, also mit Wahrscheinlichkeiten
        \n(bei 3): 2\/3 * \u00bd = 1\/3
        \n(bei 4): \u00bd * 2\/3 = 1\/3
        \n(bei 5): 2\/5 * 5\/6 = 1\/3
        \nBei einer Ansage von 6 w\u00fcrde er sofort verlieren und auch eine Ansage von 1 ist mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 1\/6 f\u00fcr Spieler 1 nicht sinnvoll.
        \nWas geschieht jetzt noch bei einer Ansage von 2?
        \nSpieler 2 glaubt diese und w\u00fcrfelt nach \u2013 womit Spieler 1 wiederum mit Wahrscheinlichkeit 1\/3 gewinnt.
        \nAuch hier ist also wieder das Prinzip der Indifferenz zu beobachten!
        \nSpieler 1 gewinnt hierbei also bestenfalls mit Wahrscheinlichkeit 1\/3.<\/li>\n
      2. b)Nehmen wir an, Spieler 1 wirft eine 3.
        \n– W\u00fcrde er mit einer 1 oder 2 bluffen, so gewinnt er nur mit 1\/6 oder 1\/3 Wahrscheinlichkeit.
        \n– Sagt er die Wahrheit \u2013 also die 3 \u2013 an, so gewinnt er, falls Spieler 2 anzweifelt oder wenn Spieler 2 glaubt und nichts Besseres w\u00fcrfelt.
        \nEr gewinnt also mit Wahrscheinlichkeit 1\/3 + 2\/3 * \u00bd = 2\/3.
        \n– Blufft er mit 4, so gewinnt er nur, wenn Spieler 2 dieses glaubt und nichts besseres w\u00fcrfelt; also mit Wahrscheinlichkeit \u00bd * 2\/3 = 1\/3
        \n– Blufft er mit 5 so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit 2\/5 * 5\/6 = 1\/3
        \n– Blufft er mit 6, so verliert er immer.
        \nAlso: Die beste Strategie ist hier, die Wahrheit zu sagen mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit 2\/3!!<\/li>\n
      3. c)Nehmen wir an, Spieler 1 wirft eine 4.
        \nWie unter b) sieht man wieder, dass man auch jetzt am besten die Wahrheit sagt mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von \u00bd + \u00bd * 2\/3 = 5\/6<\/li>\n
      4. d)Nehmen wir an, Spieler 1 wirft eine 5.
        \nWie unter b) sieht man wieder, dass man auch jetzt am besten die Wahrheit sagt mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 3\/5 + 2\/5 * 5\/6 = 14\/15<\/li>\n
      5. e)Wirft Spieler1 eine 6, so gewinnt er sicher wenn er diese auch ansagt.<\/li>\n
      6. f)Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann Spieler 1 also h\u00f6chstens gewinnen bei der vorgegebenen Strategie von Spieler 2?
        \nWie oben berechnet erhalten wir
        \n1\/6 * ( 1\/3 + 1\/3 + 2\/3 + 5\/6 + 14\/15 + 1)
        \n= 1\/6 * (10\/30 + 10\/30 + 20\/30 + 25\/30 + 28\/30 + 30\/30)
        \n= 1\/6 * (123\/30)
        \n= 123\/180 = 41\/60<\/li>\n<\/ol>\n

        3) Die beiden beschriebenen Strategien f\u00fcr Spieler 1 und 2 sind also optimal im Sinne des\u00a0Minimax\u00a0Theorems der Spieltheorie und der Spielwert des Spieles betr\u00e4gt 41\/60.
        \nSpieler 1 gewinnt also bei Anwendung der vorgegebenen Strategie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 41\/60 und Spieler 2 verliert h\u00f6chstens mit einer Wahrscheinlichkeit von 41\/60 bei Anwendung seiner optimalen Strategie!<\/p>\n

        Nachdem wir oben gesehen haben, dass selbst das sehr einfache\u00a0Minim\u00e4xchen\u00a0schon eine komplizierte optimale Strategie besitzt, betrachten wir nun das Spiel Bluff\/Liar\u00b4s\u00a0Dice\u00a0und versuchen uns der optimalen Strategie des Endspieles bei Bluff (2 Personen mit je einem W\u00fcrfel) langsam zu n\u00e4hern…<\/p>\n

        Daher betrachten wir hier zuerst mal eine vereinfachte Version des Spieles Bluff\u00a0\u2013<\/b><\/strong><\/p>\n

        Micro-Bluff\/Micro Liars Dice f\u00fcr 2 Personen:<\/b><\/strong><\/p>\n

        Es wird mit je&xnbsp;\u00a0einem W\u00fcrfel pro Spieler gespielt. Beide Spieler w\u00fcrfeln verdeckt, Spieler 1&xnbsp;&xnbsp;\u00a0sagt eine W\u00fcrfelzahl und eine H\u00e4ufigkeit an&xnbsp;\u00a0und behauptet, dass beide Spieler gemeinsam diese Zahl in mindestens dieser H\u00e4ufigkeit gew\u00fcrfelt haben.<\/i><\/em><\/p>\n

          \n
        1. a) Spieler 2 kann dieses anzweifeln \u2013 in diesem Fall wird aufgedeckt und falls die Behauptung falsch war gewinnt Spieler 2 ansonsten Spieler 1.<\/i><\/em><\/li>\n
        2. b) Spieler 2 kann diese Behauptung auch glauben und das Gebot erh\u00f6hen \u2013 dann muss er(ohne erneutes W\u00fcrfeln) eine h\u00f6here W\u00fcrfelzahl bei gleicher H\u00e4ufigkeit oder eine beliebige W\u00fcrfelzahl mit h\u00f6herer H\u00e4ufigkeit behaupten. Spieler 1 kann dann wieder glauben oder anzweifeln, u.s.w.<\/i><\/em><\/li>\n
        3. c) Falls auf dem W\u00fcrfel auch ein Stern vorhanden ist, gilt dieser als h\u00f6chste Zahl und als Joker f\u00fcr jede andere Zahl. Die Ordnung der Gebote ist dann so, dass direkt vor 2k Einsen das Gebot von k Sternen einzuordnen ist.<\/i><\/em><\/li>\n<\/ol>\n

          Nano Liars Dice (I):<\/b><\/strong><\/p>\n

          Mit W\u00fcrfel W6 und den Geboten 1<2<3<4<5<6 ,\u00a0also ohne Pasch und ohne Stern!<\/b><\/strong><\/p>\n

          Optimale Strategie(<\/b><\/u>f\u00fcr\u00a0<\/strong>Nano Liars Dice (I)):<\/b><\/strong><\/p>\n

          Spieler 1 gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 7\/12&xnbsp;\u00a0(=Wert des Spieles).<\/p>\n

          Strategie Spieler 1:<\/i><\/em><\/p>\n

          Spieler 1 sagt immer die gew\u00fcrfelte Zahl an, also die Wahrheit.<\/p>\n

          In 2-ter Runde immer anzweifeln!<\/p>\n

          Strategie Spieler 2:<\/i><\/em><\/p>\n

          Ist der eigene Wurf von Spieler 2 h\u00f6her als die Ansage von Spieler 1,&xnbsp;\u00a0dann erh\u00f6ht er auf die gew\u00fcrfelte Zahl;&xnbsp;\u00a0ansonsten zweifelt er an.<\/p>\n

          In 2-ter Runde immer anzweifeln!<\/p>\n

          Analyse\/Beweis:<\/b><\/strong><\/p>\n

            \n
          1. a)Wir nehmen jetzt an, Spieler 1 nutzt die angegebene Strategie und wir suchen jetzt die optimale Gegenstrategie. (zu beachten ist hier, dass Spieler 1 ja in der zweiten Runde immer anzweifelt).<\/li>\n
          2. b)Wenn Spieler 2 die 6 h\u00f6rt, dann hat Spieler1 auch die 6 und Spieler 2 verliert beim Zweifeln.<\/li>\n
          3. c)Spieler 2 h\u00f6rt als Ansage ein x mit x=1,2,3,4\u00a0oder 5. Spieler 1 sagt immer die Wahrheit und zweifelt in der 2-ten Runde. Anzweifeln macht also keinen Sinn und Bluffen auch nicht. Also gewinnt Spieler 2 genau dann, wenn er besser als die Ansage von Spieler 1 gew\u00fcrfelt hat und dieses dann ansagt!
            \nBei einer Ansage von x gewinnt Spieler 2 also mit Wahrscheinlichkeit (6-x)\/6, wohingegen Spieler 1 mit Wahrscheinlichkeit x\/6 gewinnt.<\/li>\n
          4. d)Was ist nun die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 1 bei optimaler Gegenstrategie von Spieler 2?
            \n(Spieler 2 h\u00f6rt 6&xnbsp;\u00a0+ Spieler 2 h\u00f6rt 5 und verliert + Spieler 2 h\u00f6rt 4 und verliert + ….)
            \nP(Spieler 1 gewinnt) = 1\/6 * (1 + 5\/6 + 4\/6 + 3\/6 + 2\/6 + 1\/6) = 21\/36 = 7\/12 .<\/li>\n<\/ol>\n

            2) Als zweites nehmen wir jetzt an, Spieler 2 nutzt die angegebene Strategie und wir suchen jetzt die optimale Gegenstrategie von Spieler 1. (D.h. wir suchen die maximale Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 1.) Beachte: Spieler 2 zweifelt in der 2-ten Runde immer an!<\/p>\n

              \n
            1. a)Spieler 1 kann hier prinzipiell auch bluffen. Nehmen wir an, Spieler 1 blufft mit einer Ansage y <\u00a0x ,\u00a0wenn er x gew\u00fcrfelt hat.
              \n=> Spieler 2 habe a gew\u00fcrfelt; nach seiner Strategie gilt:
              \n(I)&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;\u00a0a\u00a0<<\/u>\u00a0y&xnbsp;\u00a0,\u00a0Spieler 2 zweifelt . Spieler 1 verliert (au\u00dfer, wenn a = y)
              \n(II)&xnbsp;&xnbsp;\u00a0y < a <\u00a0x ,\u00a0Spieler 2 glaubt und behauptet a. Spieler 1 erh\u00f6ht auf x und gewinnt.
              \n(III) a\u00a0><\/u>\u00a0x ,\u00a0Spieler 2 glaubt und behauptet a. Spieler 1 verliert.
              \nH\u00e4tte Spieler 1 nicht geblufft und gleich x behauptet, so h\u00e4tte er im Fall (I) immer gewonnen, im Fall (II) genauso gewonnen und im Fall (III) noch bei a = x gewonnen.
              \nIn allen F\u00e4llen w\u00e4re er also ohne Bluff (\u201etiefstapeln\u201c) besser\u00a0gewesen !
              \nDa wir die optimale Gegenstrategie f\u00fcr Spieler 1 suchen, brauchen wir also den Fall, dass wir eine kleinere Zahl ansagen als wir gew\u00fcrfelt haben, nicht mehr zu betrachten!<\/li>\n
            2. b)Wir nehmen an, Spieler 1 hat x gew\u00fcrfelt und y\u00a0><\/u>\u00a0x angesagt. Spieler 2 hat a gew\u00fcrfelt.
              \nIst a = y (Wahrscheinlichkeit 1\/6), so gewinnt Spieler 1.
              \nIst a < y (Wahrscheinlichkeit (y-1)\/6 ), so gewinnt Spieler 1, falls er nicht gelogen hat.(Falls er gelogen hat, also y > x, so w\u00fcrde ein Bluff mit y+1 sofort erkannt werden, da Spieler 2 in der zweiten Runde ja immer anzweifelt. Hier ben\u00f6tigen wir Aussage a), denn bei y < x w\u00e4re eine Erh\u00f6hung auf x m\u00f6glich).
              \nIst a > y, so gewinnt Spieler 2, da ja Spieler 1 wegen y > x nicht mehr ohne zu bluffen erh\u00f6hen kann!
              \nMit P(a | b) = P(a und b) \/ P(b) erhalten wir also:
              \nP(Spieler 1 gewinnt) =
              \n= P(Spieler 1 sagt 1) * ( 1\/6 ) +
              \n+ P(Spieler 1 sagt 2) * ( 1\/6 + (2-1)\/6 *P(Spieler 1 hat 2 | Spieler 1 sagt 2) )
              \n+…+ P(Spieler 1 sagt 6) * (1\/6 + (6-1)\/6 * P(Spieler 1 hat 6 | Spieler 1 sagt 6) )
              \n= 1\/6 * ( P(Spieler 1 sagt 1) + …+ P(Spieler 1 sagt 6) ) +
              \n+ 1\/6 * P(Spieler 1 hat 2 und sagt 2) + 2\/6 * P(Spieler 1 hat 3 und sagt 3)+
              \n+ … + 5\/6 * P(Spieler 1 hat 6 und sagt 6)
              \n= 1\/6 * ( 1 ) + 1\/6 * P(Spieler 1 hat 2 und sagt 2) +
              \n+ 2\/6 * P(Spieler 1 hat 3 und sagt 3) +…+ 5\/6 * P(Spieler 1 hat 6 und sagt 6)<\/li>\n<\/ol>\n

              Nun ist&xnbsp;\u00a0P(Spieler 1 hat y und sagt y)\u00a0<<\/u>\u00a0P(Spieler 1 hat y) = 1\/6.
              \nDamit erhalten wir
              \nP(Spieler 1 gewinnt)\u00a0<<\/u>
              \n<<\/u> 1\/6 + 1\/6 * 1\/6 + 2\/6 * 1\/6 + … + 5\/6 * 1\/6
              \n= 1\/36 * (1 +2 +3 + 4 +5 + 6) = 7\/12.
              \nDie optimale Gegenstrategie von Spieler 1 gewinnt also mit einer Wahrscheinlichkeit von h\u00f6chstens 7\/12; wenn Spieler 1 bei einem Wurf von 2 bis 6 immer die Wahrheit sagt, so erreicht er diese 7\/12 auch!<\/p>\n

              3) Die beiden beschriebenen Strategien f\u00fcr Spieler 1 und 2 sind also wieder optimal im Sinne des\u00a0Minimax\u00a0Theorems der Spieltheorie und der Spielwert des Spieles betr\u00e4gt 7\/12!<\/p>\n

              Bemerkung:
              \n<\/b><\/strong>Der Spielwert des Spieles ist 7\/12 und eindeutig; die optimalen Strategien sind im Allgemeinen nicht eindeutig!
              \nZ.B. kann Spieler 1 im obigen Beispiel beim Wurf einer 1 auch jeden anderen Wert ansagen;
              \noder auch mit Wahrscheinlichkeiten 0,7 und 0,3 die Werte 3 und 4 ansagen . Seine Gewinnwahrscheinlichkeit bleibt weiterhin 7\/12 bei optimalem Gegenspiel von Spieler 2!
              \nSpieler 2 kann seine Strategie noch dahingehend verbessern,\u00a0dass er auf nicht optimales Spiel seines Gegners reagiert<\/i><\/em>\u00a0\u2013 z.B. im Fall, dass er genau die Ansage seines Gegners auch gew\u00fcrfelt hat (und damit beim Zweifeln automatisch verliert), kann er bluffen, die Ansage erh\u00f6hen und hoffen, dass sein Gegner nicht anzweifelt !<\/b><\/p>\n

              Nano Liars Dice (II):<\/b><\/u><\/strong><\/p>\n

              Mit W\u00fcrfel Wn und den Geboten 1<2< … < n-1 < n , also mit einem n-seitigen W\u00fcrfel und ohne Pasch und ohne Stern!<\/b><\/strong><\/p>\n

              Optimale Strategie(<\/b><\/u>f\u00fcr\u00a0Nano\u00a0Liars\u00a0Dice\u00a0(II)):<\/strong><\/p>\n

              Spieler 1 gewinnt mit Wahrscheinlichkeit\u00a0\u00bd + 1\/(2n) <\/b><\/strong>(=Wert des Spieles).<\/p>\n

              Strategie Spieler 1:<\/i><\/em><\/p>\n

              Spieler 1 sagt immer die gew\u00fcrfelte Zahl an, also die Wahrheit.<\/p>\n

              In 2-ter Runde immer anzweifeln!<\/p>\n

              Strategie Spieler 2:<\/i><\/em><\/p>\n

              Ist der eigene Wurf von Spieler 2 h\u00f6her als die Ansage von Spieler 1,&xnbsp; dann erh\u00f6ht er auf die gew\u00fcrfelte Zahl; ansonsten zweifelt er an.<\/p>\n

              In 2-ter Runde immer anzweifeln!\u00a0<\/b><\/strong><\/p>\n

              Beweis:<\/b><\/u><\/strong><\/p>\n

              Der Beweis ist identisch zu\u00a0Nano\u00a0Liars\u00a0Dice\u00a0(I).<\/p>\n

              Der Spielwert berechnet sich aus<\/p>\n

              (1\/n2) *\u00a0<\/sup>(n + (n-1) + … + 1) =<\/p>\n

              = (1\/n2) *\u00a0<\/sup>(n + 1) * (n\/2)<\/p>\n

              = (1\/n2) *\u00a0<\/sup>(n2<\/sup>\/2&xnbsp;\u00a0+ n\/2)<\/p>\n

              = \u00bd + 1\/(2n)<\/p>\n

              Bemerkung:<\/b><\/u><\/strong><\/p>\n

              W\u00fcrde man noch den \u201eStern\u201c zulassen, als h\u00f6chste Zahl \u2013 aber auch als Joker, so \u00e4ndert sich die Strategie nicht. W\u00fcrfelt jemand den Stern, so w\u00fcrde man diesen sofort ansagen und gewinnen.<\/p>\n

              Nano Liars Dice (III):<\/b><\/u><\/strong><\/p>\n

              Mit W\u00fcrfel W6 und den Geboten 1<2<3<4<5<6<11<22<33<44<55<66, also mit Pasch aber ohne Stern!<\/b><\/strong><\/p>\n

              Wie \u00e4ndern sich nun die Strategien der Spieler?<\/p>\n

              Hier ein paar Vor\u00fcberlegungen:<\/p>\n

              Kann Spieler 1 schon einen Pasch vorhersagen in seiner ersten Runde?<\/i><\/em><\/p>\n

              Wenn Spieler 1 eine 1 gew\u00fcrfelt hat, dann k\u00f6nnte er 11 (Pasch 1) ansagen (und sich damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1\/6 nach einer geworfenen 1 bewahren) \u2013 aber in allen anderen F\u00e4llen w\u00fcrde er sich seine Gewinnwahrscheinlichkeit ja auf 1\/6 reduzieren!<\/p>\n

              Das Einf\u00fchren des Pasches ist also wohl ein Vorteil f\u00fcr Spieler 2.<\/p>\n

              Allenfalls, wenn Spieler 1 in der ersten Runde \u201etiefstapelt\u201c, k\u00f6nnte er in der zweiten Runde sinnvoller weise auf einen Pasch erh\u00f6hen.<\/p>\n

              Wie reagiert man, wenn der Gegner einen Pasch angesagt hat?<\/i><\/em><\/p>\n

              Wenn die Ansage falsch ist, so kann man ruhig anzweifeln \u2013 wenn die Ansage richtig ist, so kann man sowieso nicht mehr erh\u00f6hen und damit auch gleich anzweifeln.<\/p>\n

              Also: Ein vom Gegner angesagter Pasch sollte sofort angezweifelt werden.<\/p>\n

              Beispiel:<\/i><\/em><\/p>\n

              Spieler 1 sagt 6 an.<\/p>\n

                \n
              1. a)Spieler 2 w\u00fcrfelt a zwischen 1 und 5.
                \nEr kann Anzweifeln oder Pasch a ansagen. Will er aber bei Pasch a gewinnen, so m\u00fcsste Spieler 1 auch ein a<6 gew\u00fcrfelt haben und h\u00e4tte somit bei der Ansage von 6 auch gelogen. Damit sollte Spieler 2 also direkt anzweifeln<\/li>\n
              2. b)Spieler 2 w\u00fcrfelt auch eine 6.
                \nWenn er Anzweifelt, so h\u00e4tte er verloren. Also kann er genauso gut gleich Pasch 6 ansagen und gewinnt, falls Spieler 1 nicht gelogen hat.<\/li>\n<\/ol>\n

                Korrekturen, Anregungen und insbesondere weiterf\u00fchrende Vermutungen und L\u00f6sungen werden gerne entgegengenommen!<\/p>\n

                Literatur<\/b><\/u><\/strong>:<\/b><\/u><\/strong><\/p>\n

                \u00a0<\/b><\/u><\/strong>Ferguson, Thomas. S.: Game Theory. Class notes for Math 167,\u00a0Fall\u00a02000<\/a><\/p>\n

                Models for the game of\u00a0Liar\u00b4s\u00a0dice.<\/a>
                \nStochastic games and related topics.\u00a0In honor of Prof. L. S. Shapley, Proc. Workshop,\u00a0Chicago\/IL (USA) 1987, Theory Decis.\u00a0Libr., Ser. C 7, 15-28 (1991).<\/p>\n

                The tactics of liar dice. <\/a>
                \nR. Stat. Soc.,Ser.C 38, No.3, 507-516 (1989). [ISSN 0035-9254]<\/p>\n

                Ponssard, Jean-Pierre; Sorin, Sylvain:\u00a0Optimal\u00a0behavior\u00a0strategies in 0-sum games with almost perfect information<\/a>.
                \nMath.\u00a0Oper.\u00a0Res. 7, 14-31 (1982).\u00a0[ISSN 0364-765X]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

                G\u00fcnther Rosenbaum M\u00e4xchen\u00a0 und\u00a0Bluff(von Richard Borg, FX Schmid, 1993)\/Liars\u00a0Dice(MB, 1974) sind bekannte W\u00fcrfelspiele. M\u00e4xchen habe ich schon als Jugendlicher gespielt und Bluff\/Liar\u00b4s Dice ist auch heute an geselligen Spieleabenden immer wieder auf dem Tisch. In der amerikanischen mathematischen Literatur findet man auch Analysen des Spieles\u00a0Liar\u00b4s\u00a0Dice\u00a0\u2013 aber Vorsicht \u2013 hier ist das bei uns unter dem … Mini-M\u00e4xchen und Mikro-Bluff mit 2 Personen<\/span> weiterlesen →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[966],"tags":[],"class_list":["post-3968","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-artikel"],"views":8,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.westpark-gamers.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3968","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.westpark-gamers.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.westpark-gamers.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.westpark-gamers.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.westpark-gamers.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3968"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/www.westpark-gamers.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3968\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.westpark-gamers.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3968"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.westpark-gamers.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3968"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.westpark-gamers.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3968"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}