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Dominion: Simulation einiger “Killerstrategien”
Teil 2
von Günther Rosenbaum
In Teil 1 dieser Analyse haben wir verschiedene Strategien als “Solitärspiel”
betrachtet und simuliert, wie viele Runden man braucht um eine vorgegebene Anzahl Provinzen zu
erwerben.
Zwei der Strategien aus dem Teil1 möchte ich noch aufgrund einiger Leserkommentare leicht
modifizieren, da sie hierdurch nochmal ein gutes Stück verbessert werden können:
| Geld-Kapelle-Strategie |
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| Geld-Kapelle-Labor-Strategie |
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Nun könnte man natürlich weitere Strategien definieren und analysieren oder die Auswirkungen von
Angriffs- und Verteidigungskarten auf das Solitärspiel berechnen. Zuerst wollen wir uns aber wie
angekündigt um das Mehrpersonenspiel mit diesen 6 Strategien kümmern (dabei benutzen wir jetzt
immer, ohne dies jeweils noch einmal zu erwähnen, die beiden modifizierten Strategien). Beginnen
wir als wichtigstes mit dem 2-Personenspiel (ja, dies ist natürlich wieder ein endliches
2-Personen Nullsummenspiel und die Existenz einer optimalen Strategie ist damit garantiert).
Hier nochmal im Überblick die diskutierten(und modifizierten) Strategien:
2) Das 2-Personenspiel!
Als erstes müssen wir unsere Messmethoden “eichen” und schauen was passiert, wenn
beide Spieler die Nur-Geld-Strategie nutzen:
Spieler1 gewinnt: 26,04% (Spieler 1 ist immer der Startspieler) Spieler2 gewinnt: 42,08% Gleichstand zwischen Platz 1 und 2: 31,88% Spielende mit Spieler x: 50,54% 49,46% Kartenanzahl von Spieler x: 27,46 26,96 Endpunktzahl von Spieler x: 27,73 26,27
Wir benutzen hier die original Regeln für das Spielende:
- Sofortiges Spielende bei Verkauf der 8-ten Provinz
und die Tiebreaker-Regel:
- Beendet Spieler1 das Spiel und haben beide Spieler gleich viele Siegpunkte, so gewinnt
Spieler2. - Beendet Spieler2 mit gleichviel Punkten wie Spieler1das Spiel, so gibt es ein
Unentschieden!
In der obigen Simulation fällt auf, dass es sehr viele Unentschieden gibt, und dass
erstaunlicherweise Spieler2 16% mehr Spiele gewinnt als sein Konkurrent!?
Ihr ahnt schon woran das liegt?
Ändern wir die Regeln für das Spielende und spielen die letzte Runde noch zu Ende, so dass jeder
Spieler gleich häufig dran war. Wir geben dem Spieler2 sogar noch die Möglichkeit, eine 9-te
Provinz zu kaufen (Spielende ist, wenn am Rundenende 8 oder mehr Provinzen verkauft wurden).
Spieler1 gewinnt: 25,97% Spieler2 gewinnt: 26,25% Gleichstand zwischen Platz 1 und 2: 47,78% Spielende mit Spieler x: 00,00% 100,00% Kartenanzahl von Spieler x: 27,46 27,45 Endpunktzahl von Spieler x: 27,71 27,73
Jetzt gewinnen Spieler1 und Spieler2 in etwa gleichhäufig und die Anzahl der Unentschieden ist
noch einmal um 16% auf fast 50% gestiegen!?
Des Rätsels Lösung: Die 16% waren Spiele, die Spieler1 mit gleich vielen Punkten wie Spieler2
beendet hat und wegen der Tiebreaker-Regel wurde Spieler2 zum Sieger erklärt. Lässt man aber
Spieler2 – wie in der 2-ten Simulation – die letzte Runde noch beenden, so kann er fast nie eine
weitere (teure) Provinz kaufen und es kommt zum Unentschieden!
Warum gibt es eine so hohe Zahl von Unentschieden?
Nun, wir kaufen in unseren Strategien derzeit nur die effektiven Provinzen als Siegpunkte –
Herzogtümer und Anwesen bleiben außen vor. In einem Mehrpersonenspiel beim Kampf um die meisten
Siegpunkte müssen wir aber kurz vor Spielende (z.B. wenn wir vermutlich unseren Nachziehstapel
nicht mehr aufbrauchen werden) unsere Strategie ändern und nur noch Siegpunkte kaufen – auch wenn
es nur noch Anwesen sind. Insbesondere können wir dadurch ein drohendes Unentschieden noch in einem
eigenen Sieg umwandeln.
Daher ändern wir alle unsere Strategien folgendermaßen: Wenn ein Spieler 4 Provinzen besitzt, so
kauft er ab sofort nur noch Siegpunkte!
Eine Simulation mit original Spielenderegel liefert nun:
Spieler1 gewinnt: 41,86% Spieler2 gewinnt: 41,94% Gleichstand zwischen Platz 1 und 2: 16,20% Spielende mit Spieler x: 50,04% 49,96% Kartenanzahl von Spieler x: 27,49 26,99 Endpunktzahl von Spieler x: 28,91 27,04
Spielen wir wieder die letzte Runde zu Ende, so erhalten wir:
Spieler1 gewinnt: 41,83% Spieler2 gewinnt: 41,79% Gleichstand zwischen Platz 1 und 2: 16,38% Spielende mit Spieler x: 00,00% 100,00% Kartenanzahl von Spieler x: 27,48 27,48 Endpunktzahl von Spieler x: 28,90 28,90
In beiden Fällen gewinnen nun Spieler1 und Spieler2 in etwa gleich häufig; außerdem hat sich die
Häufigkeit der Unentschieden drastisch verringert!
Für alle folgenden Simulationen werden wir immer mit diesen im
Endspiel verbesserten Strategien arbeiten und, um jeglichen möglichen Startspielervorteil
auszuschließen, das Spielende immer erst am Rundenende überprüfen (womit auch das Kaufen einer
9-ten Provinz ermöglicht wird).
Wir werden nun die 6 Strategien Nur Geld, Schmiede, Kapelle, Kapelle-Labor3, Jahrm1-Schmiede2,
Jahrm4-Schmiede3 in einem 2-Personenspiel paarweise gegeneinander antreten lassen und jede Paarung
eine halbe Millionen mal simulieren.
Als erstes lassen wir die Nur-Geld-Strategie gegen alle 6 Gegner antreten und erhalten folgendes
Ergebnis:
Dieses Bild ist nun folgendermaßen zu interpretieren:
Die Nur-Geld-Strategie tritt als Startspieler nacheinander gegen alle 6 Strategien (Spieler 2)
an – natürlich auch gegen sich selbst. Die breiten grün/gelb/roten Balken geben die
Wahrscheinlichkeit des Startspielers(= Nur-Geld-Strategie) für einen Gewinn(grün), ein
Unentschieden(gelb) oder einen Verlust(rot) an. Die schmalen Balken beziehen sich auf die rechte,
sekundäre Vertikalachse und bedeuten: mittlere Anzahl Runden bis Spielende(hellgrün), mittlere
Anzahl Siegpunkte des Startspielers(blau) und mittlere Anzahl Karten des Startspielers bei
Spielende(orange).
Die Jahrm4-Schmiede3 Strategie ist im 2-Personenspiel in etwa gleich gut wie die Nur-Geld
Strategie; alle anderen Spielweisen sind besser!
Dies haben wir auch schon bei der Analyse als Solitärspiel vermutet.
Wir sehen aber auch, dass selbst gegen die Kapelle-Labor3 Strategie noch eine Chance von fast
20% für einen Gewinn oder ein Unentschieden besteht!
Die Strategien variieren also aufgrund der verschiedenen Kartenverteilungen im gemischten
Nachziehstapel sehr stark, was beim Solitärspiel auch durch die variierende Rundenzahl bei
Spielende deutlich wurde.
Schauen wir uns die nächste Strategie an:
Nur die Kapelle-Labor3 Strategie ist geringfügig besser – alle anderen müssen sich geschlagen
geben! Die Punkte
bei Spielende sind teilweise über 30, d.h. es wurden wohl 5 Provinzen gekauft.
Die Kapellenstrategie liegt im Mittelfeld – sie schlägt Nur-Geld und Jahrm4-Schmiede3, der Rest
ist aber besser.
Kommen wir nun zum Etappensieger:
Die Kapelle-Labor3 Strategie ist besser als alle anderen! Sie hat bei Spielende im Mittel ca. 14
Karten, davon ca. 5 Geldkarten.
Ich behaupte hiermit natürlich NICHT, dass dies die beste Strategie (OHNE Interaktion) ist, denn
dies habe ich an keiner Stelle nachgewiesen. Ich vergleiche hier nur 6 Strategien relativ
zueinander – nicht mehr und nicht weniger. Unter diesen Strategien und unter den vorgegebenen
Simulationsbedingungen ist die Kapelle-Labor3 Strategie die beste.
Aber betrachten wir auch noch die beiden weiteren Spielweisen.
Betrachten wir nun noch einmal die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller Strategien im Überblick,
berechnen den Durchschnitt für jede Strategie und sortieren nach diesem Wert:
Wir erhalten also folgende Rangfolge im 2-Personenspiel (in Klammern die Rundenzahl als
Solitärspiel):
- Kapelle-Labor3 (15,52 Runden)
- Schmiede (17,33 Runden)
- Jahrmarkt1-Schmiede2 (17,93 Runden)
- Kapelle (16,99 Runden)
- Jahrmarkt4-Schmiede3 (19,2 Runden)
- Nur-Geld (19,12 Runden)
Die Nur-Geld-Strategie hat sich also nicht wirklich als
Killerstrategie herausgestellt!
Mit Ausnahme der Kapellenstrategie entspricht hier die Reihenfolge in etwa der vermuteten
Reihenfolge anhand der mittleren Rundenanzahl als Solitärspiel.
Worin liegt das Problem der Kapellenstrategie? Sie entsorgt zu Beginn auch die 1er Siegpunkte,
die ihr dann am Ende fehlen! Obwohl sie etwas früher die vierte Provinz kaufen kann, genügt dies
nicht, um diesen Rückstand wieder aufzuholen!
Entsorgt man aber die 1er Siegpunkte mit der Kapelle nicht, so kann man diese Kapellenstrategie
getrost vergessen – sie ist dann ziemlich schlecht.
Auch im 2-Personenspiel gilt wie im Solitärspiel weiterhin
- Schmiede-Strategie: kaufe genau eine Schmiede; eine zweite verschlechtert das Ergebnis.
- Kapelle-Labor3-Strategie: kaufe genau 3 Laboratorien; mehr oder weniger Laboratorien
verschlechtern das Ergebnis.
3) Das 4-Personenspiel !
Das 4-Personenspiel ist noch kürzer als das 2-Personenspiel, da nur mit 12 Provinzen gespielt
wird und damit jeder Spieler im Mittel nur 3 Provinzen bis Spielende benötigt.
Es könnte daher sein, dass einige Strategien etwas anders zu bewerten sind, da sie ein etwas
längeres Spiel benötigen, um sich zu entfalten. Möglicherweise sind hier wieder die besonders
minimalistischen Strategien im Vorteil? Oder ändert sich doch nichts im Vergleich zum
2-Personenspiel?
Um dies zu untersuchen, werden wir die oben beschriebenen Strategien unter gleichen
Randbedingungen (z.B. Runde immer zu Ende spielen) wieder paarweise gegeneinander antreten lassen:
Jeweils 2 Spieler benutzen die erste und zweite Strategie. Da es ein Unentschieden jetzt nicht mehr
nur für ersten und zweiten Platz gibt, werden wir diese jetzt etwas anders behandeln: Teilen sich
z.B. 3 Spieler den ersten Platz, so bekommt jeder von ihnen ein Drittel Sieg zugeschrieben. In den
Grafiken entfällt daher auch die “gelbe” Zahlenreihe.
Schauen wir uns mal das Ergebnis der Kapelle-Labor3 Strategie an:
Tatsächlich, Kapelle-Labor3 scheint jetzt schlechter zu sein – die Schmiede ist eindeutig besser
und Jahrm1-Schmiede2 ist gleich gut!
Es sieht also so aus, als ob die Schmiede jetzt die beste der betrachteten Strategien ist:
Die Schmiede gewinnt im 4-Personenspiel in 2/3 oder mehr Fällen gegen alle anderen
Strategien!
Die Spiele sind etwa 2 Runden kürzer als mit 2 Personen; aufgrund ihrer höheren Anzahl an
Aktionskarten (jeder Kauf einer Aktionskarte kostet ja eine Runde und muss sich erst später
amortisieren) entfaltet die Kapelle-Labor3 Strategie ihre Kraft erst etwas später, dann aber um so
heftiger!
Wir machen daher eine Gegenprobe und erhöhen die Anzahl an Provinzen im 4-Personenspiel auf 16
und schauen uns die Auswertung der Schmiede Strategie nochmal an:
Jetzt sind die alten Verhältnisse in etwa wieder hergestellt – Kapelle-Labor3 ist geringfügig
besser als die Schmiede!
Ändert man die Anzahl der Laboratorien in der Kapelle-LaborX Strategie, so erhält man bei 2
Laboratorien etwa gleich gute Ergebnisse, ansonsten immer schlechtere Resultate.
Im Solitärspiel haben wir die JahrmX-SchmiedeY betrachtet und berechnet, wie sich die Ergebnisse
ändern, wenn man die Anzahl der Jahrmärkte und Schmieden variiert. Das möchte ich hier im
4-Personenspiel auch nochmal wiederholen und lasse JahrmX-SchmiedeY gegen die Schmiede spielen:
Es ergibt sich wieder ein sehr ähnliches Ergebnis: Nur eine Schmiede allein ist wieder die beste
Strategie!
Wie im 2-Personenspiel betrachten wir nun noch einmal die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller
Strategien im Überblick, berechnen den Durchschnitt für jede Strategie und sortieren nach diesem
Wert:
Es hat sich nur wenig geändert: Schmiede und Kapelle-Labor3 haben ihren Platz gewechselt, alles
andere ist gleich geblieben!
Mit Ausnahme der 4 unterstrichenen Werte in der obigen Tabelle sieht man auch noch eine gewisse
Regelmäßigkeit: Eine Strategie, die im Mittel besser ist als eine andere, ist auch in jeder
einzelnen paarweisen Kombination besser als die andere!
Beispiel: Jeder einzelne Werte in der Zeile “Kapelle” ist größer als der
darunterliegende Wert in der Zeile “Jahrm4-Schmiede3”.
Wir erhalten also folgende Rangfolge im 4-Personenspiel (in Klammern die Rundenzahl als
Solitärspiel mit 5 Provinzen):
- Schmiede (17,33 Runden)
- Kapelle-Labor3 (15,52 Runden)
- Jahrmarkt1-Schmiede2 (17,93 Runden)
- Kapelle (16,99 Runden)
- Jahrmarkt4-Schmiede3 (19,2 Runden)
- Nur-Geld (19,12 Runden)
Zum Abschluss werde ich jetzt noch 4-Personenspiele betrachten, bei denen jeder Spieler eine
andere Strategie verfolgt; wir erwarten natürlich, dass sich die obige Rangfolge auch hier
bestätigt:
Kapelle-Labor3 kann sich gut gegen Jahrm4-Schmiede3 und Nur-Geld durchsetzen, hat aber
Schwierigkeiten mit der Schmiede – daher belegt diese Strategie einen hohen Anteil von 2-ten
Plätzen.
Die oben angegebene Rangfolge der Strategien bestätigt sich also auch bei diesen
Simulationen!
Damit sind wir vorerst ans Ende unserer Analysen angelangt.
Ich möchte nochmal darauf hinweisen, dass die betrachteten Strategien nur einige Beispiele von
in Spielerkreisen häufig erwähnten Spielweisen sind. Es wird an keiner Stelle behauptet, dass diese
optimal sind oder es keine besseren gäbe.
Eine ganz wesentliche Vereinfachung der Analysen bestand darin, die Auswirkung von
Angriffskarten und Interaktion ganz wegzulassen; in einem Spiel mit vielen Angriffskarten müssen
die Strategien sicherlich angepasst werden.
Der Käufer einer Angriffskarte wird sich (gerade im Mehrpersonenspiel)aber immer fragen müssen,
ob der Kauf von z.B. einer Hexe(+2 Karten) wirklich sinnvoller ist als der Kauf einer Schmiede(+3
Karten) ! Diese Frage werden wir ihm hier noch nicht beantworten …
Viel Spaß mit Dominion und allen kommenden Erweiterungen,
Günther Rosenbaum, 15.2.09