Im Internet kann man sich nicht nur einen Lebensabschnittspartner suchen, sondern auch kurzfristige Seitensprünge. Bei Google werden unter den Suchbegriffen „Seitensprung“ + „Portal“ immerhin dreihundertvierzigtausend Einträge angeboten, z.B. „Seitensprung mit Niveau … für Frauen und Männer, die auf der Suche nach einer Affäre oder einem One-Night-Stand sind!“
Peter hat es ausprobiert. Zumindest einige Links. Angeblich sollen dort 35 jährige Frauen „jüngere“ Männer suchen. Mit 40 plus ist man schon ausgemustert. Als armer 40 Jähriger muß man schon um seinen Ruf kämpfen: „Ich bin kein Opa-Typ!“.
Ach, was hat die heutige Jugend für Sorgen! Ich gehe als gut 60-Jähriger in den Bridgeclub und bin dort… Verrate ich nicht!
1. „Chicago Express“
Walter durfte den Neulingen Loradana und Peter die Regeln erklären. Nach Peters Vorstellung von Systematik hielt er sich streng linear an das 8-seitige, klar gegliederte Regelheft und wurde als Erklärer weder angefeindet noch abgesetzt. Ein Novum am Westpark.
Wir ersteigern Aktien von Eisenbahngesellschaften, bauen Strecken, entwickeln die umliegende Geographie und kassieren Dividenden für den Eisenbahnbetrieb. Wer am Ende das meiste Geld erwirtschaften konnte, ist Sieger.
Es gibt eine Menge antagonistischer Effekte zu berücksichtigen, hier nur zwei Beispiele:
a) Die Gesamteinnahmen einer Linie werden gleichmäßig unter alle Aktienbesitzer verteilt. Je mehr Aktien einer Linie verkauft sind, desto geringer ist der Quotient. Schnell noch eine Aktie des Gegners auf den Markt zu werfen, erhöht den Nenner und reduziert die Dividende. Im Gegenzug macht jede verkaufte Aktie eine Linie reicher und entwicklungsfähiger. Zusätzlich erlaubt dies gleich mehreren Aktionären, den Ausbau einer Linie tatkräftig in die Hand zu nehmen.
b) Man versucht eine Aktien so billig wie möglich zu ersteigern, doch der Erlös fließt in die Gesellschaft, und je mehr Kapital sie hat, desto besser kann sie sich entwickeln. Der richtige Preis für eine Aktien zum gegebenen Zeitpunkt, das ist das ganze Geheimnis für gutes Spiel. Wenn man diese Rechnerei ernst nimmt, kann der Spielablauf allerdings ziemlich dröge werden.
Gott-sei-Dank hat Günther hier noch keine Optimierungsbilanz erarbeitet, sonst wäre das Spiel zu Tode analysiert. Wir (alle?) rechneten wenig und wir spielten viel. Ganz brav und ruhig verlief die Entwicklung. Ohne Aggressionen wurden die Strecken gebaut und die Industriezentren entwickelt. Fast langweilig
Walter konnte sich erinnern, daß ab dem Mittelspiel die Aktien leicht überbewertet über den Ladentisch gingen. Heute hielt er sich von Anfang an zurück. Am Ende kam er mit einer einzigen Chesapeake-Aktie (plus einer beschisssenen Wabash-Aktie) vor den Richter. Entsprechend gering war seine Geldsummenausbeute: mit 42 Dollar hatte er gerade mal die Hälfte an Barvermögen des vorletzten Spielers erwirtschaftet und etwa ein Viertel die des Siegers Peter.
„Was habe ich falsch gemacht?“ Peter: „Alles!“. Deutliche Aussage, doch die Details sind hilfreichere Information für das nächste Spiel. „Keep fully invested“ gilt auch hier, zumindest am Anfang des Spiels. Immerhin werden ca. 8 mal Dividenden ausgeschüttet, die ersten Aktien bringen also schon insgesamt etwa 50 Dollars ein.
Zweites Fazit von Peter: „Ihr (wahrscheinlich meinte er wieder Walter) hättet mehr Aktien auf den Markt bringen müssen!“. Dabei hatte sich Walter gerade in der Endphase bemüht, Aktien SEINER Linie zu verkaufen, um die Gesellschaft flüssiger zu machen. Hier hätte er sich aber besser auf seiner einzigen Aktie ausruhen und etwas für die Ertragsentwicklung seiner Linie tun sollen. Dann hätten die Mitspieler automatisch auch Interesse an der Chesapeake bekommen.
Peters drittes Fazit: „Man kann das Spiel besser spielen, als es hier gespielt wurde!“ Klar, wer auch diesmal damit gemeint war.
WPG-Wertung: Aaron: 8 (1 Punkt weniger), Peter: 7 (trotz seiner Geld-Schwemme), Loredana: 5 (das Spiel funktioniert. Nachträgliche Frage: Was funktioniert nicht?) Walter: 8 (2 Punkte weniger, Tendenz fallend)
2. „Trans Europa“
Noch mal Eisenbahn, diesmal in Europa. „Trans Europa“ ist auch kein Wirtschaftskampf, sondern ein Glücksspiel (wer zieht die besten Städte-Verbindungen) und eine psychologische Herausforderung (welche Strecken müssen die anderen ohnehin für mich bauen?).
Locker ist es allemal. Auch wenn unser Terminator es abqualifiziert: „albernes Glücksspiel“! Da frage ich mich schon, auf Grund welcher Eigenschaften „Zoff im Zoo“ für ihn seit Jahren der absolute Renner ist!
Keine neue WPG-Wertung für ein Mehr-als-7-Punkte-Spiel
3. Flaschenteufel
Hier gilt Walter dank seiner Auseinandersetzung mit Günther Cornett’s PC-Implementierung als Favorit. Durch einen kapitalen Ablege-Fehler konnte sich auch gleich im ersten Spiel mit Minus 16 Punkten den Teufelsstich sichern.
Doch dann schob er sich Spiel um Spiel nach oben, und als er die Führung erobert hatte, schlug er den Spielabbruch vor. Alle waren einverstanden, insbesondere Peter, der sich hier wie bei der „Behinderten-Olympiade“ gefühlt hatte. Als Zuschauer, oder als was?
4. „Bluff“
Nix Neues im Westen. Peter zweimal als erster ausgeschieden, Loredana zweimal gegen Aaron im Endspiel. Einmal oben, einmal unten. Ohne Seitensprung.
Schlagwort: Bluff
04.03.2009: „Uptown“ in der „Flut“
Bis zum Sonntag waren erst drei Spieler für den Mittwoch-Spielabend angemeldet. Am Montag rührte sich Hans per EMail: „Ich kann diesen Mittwoch dabei sein und komme gern! – mindestens einer fehlt doch noch?“
Fehlen? Der Ausdruck war ein kleines bißchen zu stark, denn auch ein Trio-Abend hat seine Reize, z.B. wenn „Friedrich“ auf dem Tisch liegt. Mit „Imuri“ hat es sogar schon faszinierende 2er-Spielabende am Westpark gegeben. Gerade mit Hans.
Walters Erinnerung daran quittierte er mit „Du sagst es, 'Imuri' und 'Salta', das war wirklich eine gehaltvolle Kombination!“ – War das jetzt eine Zusage oder nicht?
Geduldig wartete das Trio vom Sonntag auf den angekündigten vierten Spieler vom Montag. Doch er kam nicht! Hans, wo bist Du abgekommen? Wolltest Du dem Gastgeber etwa einen Soloabend bereiten?
1. „Uptown“
Es galt, die Zeit zu überbrücken, bis der vierte Mann eintrudelt. „Uptown“ ist dafür ein ideales, schnelles Spiel zum Aufwärmen. Jeder Spieler hat den gleichen Satz von insgesamt 27 Plättchen, die reihum auf vorgeschriebene Felder des Spielbrettes gelegt werden. Dabei sollen möglichst zusammenhängende Ketten gebildet werden. Wer am Ende die wenigsten getrennten Ketten erzeugt hat, ist Sieger.
Im ersten Spiel wiesen am Ende alle Spieler genau zwei zusammenhängende Ketten auf, dabei hatte Günther die dickste, was im Femininum allerdings nix Besonderes ist. Auch kein Kriterium als Tie-Breaker.
Alle brachten ihre Ideen und Vorschläge für ein strategisch optimales Vorgehen vor. Trivial ist das Ablegen der Plättchen auf keinen Fall. Ein überlegter Plan ist erforderlich, auch wenn die Auswahl der Plättchen, die man aktuell legen darf, jeweils auf fünf beschränkt ist. Zufällig gezogene! Doch gute Ratschläge unter klugen Mitspielern fallen genauso wenig auf fruchtbaren Boden wie gute Ratschläge vorsichtiger Mütter an ihre klugen Töchter. Das zweite Spiel sollte die Nagelprobe für die kontroversen Strategiediskussionen ergeben.
Doch wie der Zufall so spielt: Ausgerechnet unser Spieler, der anerkanntermaßen beim „Mensch-ärger-Dich-nicht“ die schlechtesten Würfel hinlegt und der beim „Schafkopfen“ anerkanntermaßen die schlechteste Kartenhand zugeteilt bekommt, der hatte ständig auf seinem Vorratsbänkchen auch nur „Scheiß-Plättchen“ liegen. – So muß die Entscheidung über die beste Uptown-Strategie auf einen späteren Termin verschoben werden.
Keine neue WPG-Wertung für ein 8-Punkte Spiel
2. „After the Flood„
Hans war immer noch nicht da. Ohne Skrupel konnten wir als Schwerpunkt des Abends ein neues, dickes 3er-Spiel von Martin Wallace auf den Tisch legen: „After the Flood“. Aaron hatte von einer numerierten Auflage das Exemplar Nummer 1442 erstanden. Letztes Jahr in Essen (oder wo auch immer). Frei nach seinem Motto: „Mit Martin Wallace liegt man immer richtig“.
2-3 Stunden soll das Spiel dauern. Zusätzlich zur Regelerklärung! Da kommt so ein unvorhergesehener Hans-Ausfall wie gerufen. Friedlich machten sich drei reife Männer über die Spielregeln her. Vier Seiten Einleitung, fünf dicht bedruckte Seiten Regelwerk, eine Seite Zusammenfassung. Parallel zum Klüger-Werden erzeugten wir den Spielaufbau, die Startaufstellung und die erste Ernte.
Die Szenerie liegt rund um das alte Sumerien (oder wie hieß das Land der Sumerer?). Wir schicken unsere Arbeiter zu den verschiedenen Baustellen aufs Land. „Irrigation“ heißt eines dieser Betätigungsfelder auf Englisch; drei Männerhirne fanden dazu natürlich sofort eine phonetische Assoziation. Auch das – nach Wikipedia – „paradiesische Land“ Dilmun wurde unverzüglich abgewandelt. Ohne dabei den Ernst des Spieles aus den Augen zu verlieren.
Wir erarbeiten uns Rohstoffe und treiben Handel, um unsere billigen Rohstoffe gegen höherwertige einzutauschen. Wir gründen Städte und bauen sie aus, wir gründen Reiche, d.h. wir stellen Armeen auf, die – wie im richtigen Leben – den Handel behindern, die Städte zerstören und eine Menge Ressourcen verbrauchen.
Das Spiel verläuft über fünf Runden a sechs Phasen. Die dickste Phase ist die Aktionsphase, in der alle Mitarbeiter und alle Generäle ihre Tätigkeiten entfalten. Die Anzahl der Aktionen ist a priori nicht limitiert: Jeder darf solange agieren, wie es ihm Spaß macht, d.h. bis er alle seine Rohstoffe auf den optimalen Veredelungsgrad gebracht hat. Manchmal schränken die gegnerischen Armeen den Aktionsradius ein, oft genug aber auch nicht. Hier prallt die volle schöpferische Fülle an Zugmöglichkeiten in einer abzählbar endlichen Folge auf die armen Spieler herab und sie sind – zumindest als Anfänger – total überfordert, darin eine auch nur einigermaßen optimale Linie zu finden.
Ein paar grundsätzliche Fragenstellungen:
1) Bis zu welchem Einsatz soll man um die Vorherrschaft in den vorteilhaftesten Reichen kämpfen?
2) Wieviel ist der Vorteil als Startspieler wert?
3) Wieviele Zusatzarmeen soll man sich leisten? Mit welchen Mitteln soll man sie ausstatten, um sich damit Kampfvorteile zu sichern?
4) Wo gründet man die sichersten Städte? Wann gründet man sie und wann entwickelt man sie zur Hochkultur?
5) Soll man gegnerische Städte und Armeen angreifen und an welchen Stellen?
6) Wieviel Arbeiter sind auf dem Land und in den Fabriken jeweils notwendig?
7) An welchen Marktplätzen braucht man unbedingt Händler, um die benötigten Tauschaktionen lückenlos abwickeln zu können.
8) Wieviele Angestellte schickt man ins Dildoparadies, damit sie dort ungestört ihre Kreise ziehen? Nach jeder Runde müssen sie erschöpft aufgeben!
Fragen über Fragen. Die richtige Priorität ist spielentscheidend. Nach zweieinhalb Stunden hatten wir zwei der fünf Runden absolviert, aber immer noch keinen Peil darüber, was zu welchem Zeitpunkt wichtig, wichtiger oder am wichtigsten ist. Noch kein Gefühl dafür, wie man die nächste Runde angehen soll.
In jedem Fall verläuft der Kampf um die beste Entwicklung mit einer maximalen Spieler-Interaktion. Jede vorteilhafte Position ist umkämpft. Der Sieger in einer Auseinandersetzung gewinnt eine gute Ausgangsstellung, muß dafür aber eine erhebliche Menge an Ressourcen verpulvern, und schafft sich sofort zwei Feinde, die ihm die Früchte seiner Dominanz so sauer wie möglich werden lassen. In dieser Hinsicht ist das 3-Personenspiel vorzüglich konstruiert und auch gut ausbalanciert.
Letztere Einschätzung ist allerdings nicht unumstritten. Im Gegensatz zu „Friedrich“, bei dem allen sofort klar war, daß hier ein großes Spiel auf dem Tisch liegt, muß „After the Flood“ seine wirkliche Größe erst noch unter Beweis stellen. Zum Nochmals-Spielen um seine Geheimnisse zu ergründen reizt es auf alle Fälle. Aaron wird noch ein bißchen im Internet nachschauen, was andere Geister dazu bereits herausgefunden haben.
Preliminary WPG-Wertung: Aaron: 6 (befürchtet, daß es „kippelig“ ist), Günther: 6 (noch skeptisch), Walter: 7 (mit Tendenz zu mehr)
3. „Bluff“
Nach vielen Stunden Planen und Wundern brauchten wir noch ein abschließendes Spielerlebnis. Dazu ist „Bluff“ ein nicht zu überbietendes Medium.
Das erste Spiel gewann Aaron vor Günther, im zweiten war es umgekehrt. Jeweils vor einem weiteren Teilnehmer.
29.01.2009: „Die Säulen der Erde“
„Ich bewundere und liebe die Erfindung des Spielens, da ich sie als ein Zauberband ansehe, durch welches in einer Zeit von wenigen Minuten Leute von allerlei Nationen, ohne daß sie sich sprechen können, und von Personen von ganz entgegengesetzten Charakteren viele Stunden lang sehr gesellig verknüpft werden; da es ohne dieses Hilfsmittel beinahe unmöglich wäre, eine allgemeine gefällige Unterhaltung vorzuschlagen.“
(Sophie von la Roche, vor knapp 250 Jahren)
1. „Die Säulen der Erde“
Letzte Woche waren wir alle davon überzeugt, „Steel Driver“ schon einmal gespielt zu haben; wir wunderten uns, wie schlecht wir die Regeln wieder zusammenbrachten. Dabei hatte keiner von uns das Spiel gekannt, es taucht in keiner unserer Aufzeichnungen auf. Diesmal waren Aaron und Walter davon überzeugt, „Die Säulen der Erde“ noch nie gespielt zu haben, obwohl es bei uns schon einmal zum „Spiel des Monats“ gekürt worden war. Walter hatte sich getäuscht: vor gut zwei Jahren, am 13.12.2006 hatte es bereits am Westpark auf dem Tisch gelegen und war mit guten Noten entlassen worden.
Peter durfte seine (zwei Jahre) alte Liebe den Nicht-Kennern und die sich dafür hielten vorstellen. Wie immer gab er eine perfekte Einführung, und schnell war er durch das recht anspruchsvolle Regelwerk hindurch. Wir wußten jetzt, wie man das Spiel spielt. Doch um zu wissen, wie man es gut spielt, dazu reicht die bloße Regelkenntnis natürlich nicht aus, dazu braucht es eine jahrelange Spielerfahrung.
Hier war Peter vorbildlich generös. Ganz uneigennützig gab er jedem herumrätselnden Konkurrenten Tips für den nächsten besten Spielzug. Zudem konnte er die noch-planlosen Mitspieler trösten: „Das Spiel vergibt“! Das hieß soviel wie: Fehler in der Anfangsphase können in der Schlußphase noch problemlos ausgebügelt werden. Allerdings sollte man bis dahin gelernt haben, wohin der Hase läuft.
Die Spieler müssen mit den Elementen Arbeit, Geld, Baumeister und Rohstoffe jonglieren und den effizientesten Weg finden, schlußendlich alles in Siegpunkte zu verwandeln. Sie schicken ihre Arbeiter in Wald und Heide, um Rohstoffe Holz, Steine und Kies zusammenzutragen, sie investieren Geld um ihre Veredelungsverfahren zu verbessern, und sie wandeln ihre Fertigprodukte in Siegpunkte um.
Es gibt einen Konkurrenzkampf um die Rohstoffplätze und um die lukrativsten technischen Fortschritte. Alles ist begrenzt, wer zu spät kommt, den bestraft das Schicksal. Dabei unterliegt das Gesamtangebot sogar einer Zufallsauswahl: man kann keineswegs darauf bauen, daß in einer Runde überhaupt Plätze für den Abbau eines bestimmten Rohstoffes angeboten werden. Auch in der Zugreihenfolge hat der Zufall seine Hände drin: Die Zug-Pöppel werden blind aus einem Säckchen gezogen: Wer Glück hat, dessen Pöppel werden früh gezogen und ihm steht die volle Auswahl an Entwicklungsoptionen zur Verfügung, die Nachfolger müssen sich mit einer immer kleiner werdenen Auswahl begnügen. Dieser starke Reihenfolgenvorteil wird allerdings leicht abgeschwächt: Für frühesten Züge muß man das meiste Geld berappen, und Geld ist knapp.
Alles ist knapp: die Arbeiter, die freien Arbeitsplätze, Rohstoffe und Veredelungstechniken. So stellen „die Säulen der Erde“ ein schöne Herausforderung an die Anpassungsfähigkeit der Optimierungstechniken an günstige Gelegenheiten dar. Immer wieder bieten sich den Spielern spontane Situationen, die im allgemeinen Entwicklungsfluß eine bestimmte Richtung begünstigen. Diese gilt es zu erkennen und auszubauen.
Die Fortschritte sind alle stark progressiv, d.h. die Umsetzung von Besitztümern in Siegpunkte geschieht in immer größeren Raten und zu immer vorteilhafteren Quoten. So kann man auch noch in den letzten Runden erheblichen Boden wieder gutmachen. Vielleicht zu viel! Fast die Hälfte der Siegpunkte wurde in der letzten Runde vergeben. War das jetzt dank des guten Aufbauspieles, oder auf Grund des enormen Hochschießens der Umwandlungseffizienz, oder hat da schlichtweg Fortuna entscheidend mitgeholfen?
Peter wurde Letzter. Das spricht nicht gegen ihn, sondern für die geschlossene Potenz am Westpark! (Eifriges An-die-eigene-Brust-Klopfen!) Dank seiner uneigennützigen Unterstützung mit Rat und Tat wurde Walter Zweiter. „Daß Du nicht Erster geworden bist, das spricht für das Spiel.“ Für seine Berechenbarkeit. Dafür spricht vielleicht auch, daß Günther gewonnen hat. Aber es bleiben leichte Zweifel offen. Ansonsten könnte man über Peters letzten Satz sicherlich manche dicke psychologische Abhandlung schreiben.
WPG-Wertung: Aaron: 6 (mag keine Glücksspiele), Günther: 8 („ist schon ziemlich gut; 10 Punkte sind für die 18xx-Spiele reserviert“), Peter: 10 („gehört zu den wenigen Spielen, die ich ständig spielen kann“), Walter: 8 (spielerische Mischung aus Planung und Zufall)
2. „Bluff“
Nach der zweiten Runde war Günther bereits ausgeschieden. Natürlich auf Grund von Untertreibung. Dumm gelaufen. Das vorgezogene lange Endspiel mit 5:5:5-Würfeln konnte Aaron nach zähem Kampf für sich entscheiden.
21.01.2009: Deutsche Hausmannskost
Keiner hatte Walters Wunschspiele, die „Die Prinzen von Machu Picchu“ von Mac Gerdts und Rüdiger Dorns „Diamonds Club“ mitgebracht. Von Moritz‘ amerikanischem 4-Stünder „Battles Star Galactica“ als einleitung fühlten wir uns überfordert. So kam heute nur Aaron’s Auswahl an deutscher Hausmannskost (gilt als Qualitätskriterium) zur Auswahl, und zumindest Peter war damit mehr als zufriedengestellt.
1. „Linq“
Eigentlich kein richtiges Brettspiel, sondern eher eine Party-Unterhaltung für gebildete Kreise. Vor knapp einem Jahr zum ersten Mal gespielt und gleich mit vorzüglichen 8 Punkten bedacht, war es heute für Moritz und die beiden Peters eine Premiere.
Je zwei Spieler werden per Zufallsauswahl verbandelt, doch keiner kennt die paarweisen Zugehörigkeiten. Schlüssel zur Aufklärung sind Begriffe, die jedem Paar geheim zugeordnet sind. Beispielsweise habe das rote Paar den Begriff „Europa“ und das blaue Paar den Begriff „Bangkok“ erhalten. Durch Nennen von Assoziativ-Begriffen sollen jeder die Paar-Zuordnung herausfinden.
Findet ein Paar die eigene Zusammengehörigkeit heraus (jeder vom anderen), dann bekommen beide Siegpunkte. Finden die anderen ebenfalls diese Zusammengehörigkeit heraus, so muß das Paar Siegpunkte abgeben. Es geht also darum, sich dem Partner durch geeignete Begriffe erkenntlich zu zeigen, für die anderen aber verdeckt zu bleiben.
Zu den obigen Beispielen „Europa“ und „Bangkok“ nannte Aaron „Göttin“, Peter „Asien“, Moritz „Liebesperlen“ und Walter „Sex“. Wer gehört jetzt zu wem? Als Alternativbegriff nannte Aaron „Schnell“ (das war ein gewollte Irreführung, denn er wußte schon, zu wem er gehörte und er wußte auch, daß sein Partner das ebenfalls bereits wußte), Peter nannte einen „Daro al Gelto“ (oder so ähnlich, einen bekannten Sex-Regisseur. Peter Du kannst den Namen ja noch korrigieren), mit dem er Moritz bluffen wollte. Was ihm auch vollkommen gelang. Moritz wollte mit „Fritzl“ (dem aus Amstetten) noch ein bißchen Nebel verbreiten, aber es reichte nur noch für die eigene Vernebelung.
Loredana war hier das Fragezeichen (Sonderfigur bei unpaariger Spielerzahl). Als unglückliche Anfangsspielerin wollte sie hier mit „Link“ und „Modul“ eine falsche Fährte legen, aber bei den vorgegebenen geographischen Schlüsselworten konnte sie damit keinen auf ihre Seite ziehen.
WPG-Wertung: Aaron: 8 (damals), 8, Loredana: 6 (sprachliches Handicap), Peter: 7, Moritz: 8 (Donnerlittchen), Walter: 8 (Reminiszenz an ähnliche Spielchen aus seiner Jugend)
2. „Steel Driver“
Unsere Erinnerung an die Linq-Regeln hatten wir überschätzt und viel Zeit mit Probeläufen und Fehlversuchen verloren, für Moritz Potzenzspiel war es deshalb bereits zu spät. Mit gehobener Hausmannskost ging es weiter.
„Steel Driver“ ist ein Eisenbahnaktienspiel und insofern ein Leib- und Magenspiel unserer Gruppe. Nach unserem Gefühl sollte wir es schon einmal gespielt haben, doch in unseren Sessionreports taucht es noch nicht auf. Ist es da irgendwo verschütt gegangen?
Obwohl sich Aaron und Walter im Groben und Ganzen an Einzelheiten des Spielablaufs erinnerten, hatten wir alle erhebliche Probleme, erstens beim Vortragen der Regeln, zweitens mit dem Verstehen der Regeln, und drittens beim Behalten und Beachten der Regeln.
Dabei ist alles ganz einfach: In jeder Runde kauft jeder 1-2 Aktien einer Eisenbahn-Gesellschaft; entsprechend der Liquidität dieser Gesellschaft baut er 1-3 Gleisstücke, verbindet Städte und erzielt damit einen Ertrag, der in Form von Siegpunkten an die Aktionäre ausgeschüttet wird.
Am Spielende werden die Gesellschaften nochmals auf Grund ihrer Streckenstruktur bewertet und bringen jedem Aktionär eine abschließende Siegpunkt-Prämie ein. Diese Endbewertung ist ein bißchen tricky, denn hier werden in Konkurrenz aller gegen alle die Städte auf dem Spielplan einzeln abgebaut und wer zuerst kommt, mahlt zuerst. Wer als zweiter kommt, mahlt überhaupt nicht mehr!
Hier steckt natürlich ein gewisser Kingmaker-Effekt drin. Man kann einem ungeliebten Gegenspieler einen Streckenbonus vor der Nase wegschnappen und damit einem unbeteiligten Dritten zum Sieg verhelfen. Peter meinte dazu: „Nett gedacht, aber typisch Martin Wallace; die Kingmakerei hat er noch nie wegbekommen!“ – Eigentlich wäre das doch ganz einfach gewesen: Man brauchte in der Schlußwertung bloß nicht die Städte einzeln abzuräumen, sondern jede Linie darf jede Stadt werten, die sie in ihrem Schienennetz angeschlossen hat! Damit würde ein verstärkter Nachdruck auf strategischen Gleisbau gelegt, was dem ohnehin schon guten Spiel sicherlich noch zusätzlich zugute käme.
WPG-Wertung: Aaron: 8 (bei Nachschrift), Loredana: 8 (kein Handicap), Peter: 6 (Wallace-Trauma), Moritz: 7 (ist kein 18xx-er), Walter: 7 (vertauschbar mit Aarons Punkten)
3. „Zoff im Zoo“
Peter stellte seine Regelkenntnis heraus und schaute leicht auf die Mitspieler herab, die mit der Freßreihenfolge in der Tierwelt immer noch nicht so vertraut waren. Selbst Loredana fragte ungewöhnlich aggressiv in die Runde: „Kennst Du keine Tiere?“ – Ach, in allen intelligenten Freizeitbeschäftigungen ist es schwierig, auf schwächere konkurrierende Mitspieler nicht herabzuschauen! Für die Charakterbildung ist es in jedem Fall gut, wenn man auch beim Spielen ab und zu mal auf seinen Meister trifft. Vor allem, wenn der es einem auch noch unverblümt vorhält! Davon können besonders die Bridgespieler ein Liedchen singen.
Diesmal landeten P&L bei „Zoff im Zoo“ abgeschlagen auf dem letzten und vorletzten Platz. Das muß hier auch einmal gesagt werden!
4. „Bluff“
Die vorletzte U-Bahn hatte unsere Reihen schon dezimiert, nur noch Aaron, Moritz und Walter setzen sich zum Absacker zusammen. Es wurde ungewohnt defensiv gespielt. Soviele Einser, Zweier und Dreier als Vorgabe und Erhöhung hat es bei uns noch nie gegeben.
Walter betrieb eifrig Würfelpflege (unverzügliches Nachwürfeln bei jeder Gelegenheit, auch wenn es absolut noch nicht notwenig ist), doch es half ihm nichts. Im Nur war er alle Würfel los und mußte Moritz und Aaron mit 5:3 Würfeln ins Endspiel lassen. Hier konnte Moritz den Sack zumachen.
Walter bestand auf einen Platzwechsel mit dem undurchsichtigen Moritz, doch auch das half nix, in der zweiten Runde mußte er sich ebenfalls frühzeitig verabschieden und seinen Konkurrenten das Endspiel überlassen.
Aber im dritten Spiel
Bluff Endspiel-Strategie
Eine (fast) optimale Strategie für das Endspiel von Bluff!
Wir haben uns hier schon häufiger mit dem Endspiel von Bluff befasst. Dieses Mal kommen wir der optimalen Strategie (Nash Gleichgewicht) des Spieles tatsächlich schon recht nahe! Ich möchte eine Strategie für Spieler 2 vorstellen, die mit mindestens 50% Wahrscheinlichkeit gewinnt; außerdem noch eine Strategie für Spieler 1 (Startspieler), die mit mindestens 48% Wahrscheinlichkeit gewinnt!
Vermutlich kann man beide Strategien noch etwas verbessern, sodass bei optimaler Strategie der Startspieler mit maximal 2% Wahrscheinlichkeit im Nachteil ist – für ein reales Spiel sind diese kleinen Unterschiede aber kaum bemerkbar.
Hier also die recht anschauliche Strategie für Spieler 2: Spieler 1 macht das erste Gebot!
1.Runde, Spieler 2:
hört Pasch: zw (=Anzweifeln)
hört 1: hat 1,* -> 11 (Spieler 2 hört ein Gebot von 1; er hat entweder eine 1 oder einen * gewürfelt und bietet dann Pasch-1) 2,3 -> zw 4 -> 4 5 -> 5
hört 2: hat 2,* -> 22 1,3 -> zw 4 -> 4 5 -> 5
hört 3: hat 3,* -> 33 1,2 -> zw 4 -> 4 5 -> 5
hört 4: hat 4,* -> 44 1,2,3 -> zw 5 -> 5
hört 5: hat 5,* -> 55 1,2,3,4 -> zw
hört *: hat 1,3,4,5 -> zw 2 -> 22 * -> **
Alle weiteren Runden: Anzweifeln!
Beweis: Als Beweis dafür, dass hier Spieler 2 mit mindestens 50% Wahrscheinlichkeit gewinnt, betrachte man folgende Tabelle, welche die minimalen Gewinnwahrscheinlichkeiten(in Einheiten von 1/36) von Spieler 2 enthält, wenn Spieler 1 X(Zeile) geworfen hat und dann Y(Spalte) als Gebot ansagt! Zu beachten ist, dass Spieler 2 in der zweiten Runde immer anzweifelt!
1 2 3 4 5 * min 1 4 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 5 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 4 4 3 5 2 2 2 3 2 4 2 * 1 1 1 1 1 2 1 (Pasch-Gebote werden hier nicht aufgeführt, da Spieler 2 dabei immer mit mindestens 4/36 gewinnt)
In der rechten Spalte ist das Minimum der Zeile aufgeführt, da Spieler 1 natürlich versucht, die Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2 durch sein Gebot zu minimieren. Die Summe der Min-Spalte ergibt jetzt 18/36 – also 50% Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2! q.e.d.
Jetzt noch die angekündigt Strategie von Spieler 1 mit 173/360 = ca. 48% Gewinnwahrscheinlichkeit:
1.Runde, Spieler 1:
* -> 4 (3/10) 5 (7/10) (Spieler 1 hat * gewürfelt und bietet eine 4 mit 3/10 und eine 5 mit 7/10 Wahrscheinlichkeit) 1 -> 4 (1/2) 5 (1/2) 2,3->4 (2/5) 5 (3/5) 4 -> 4 5 -> 5
2.Runde, Spieler 1:
Hat 1 und 4 gesagt(in erster Runde):
Hört * : 11 (3/5) zw (2/5) Hört 5 : * (1/5) 11 (3/5) zw (1/5) Hört Pasch -> zw
Hat 1 und 5 gesagt:
Hört * : 11 Hört Pasch -> zw
Hat 2 und 4 gesagt:
Hört * : 22 (7/8) zw (1/8) Hört 5 : * (1/4) 22 (3/4) Hört Pasch -> zw
Hat 2 und 5 gesagt:
Hört * : 22 (5/6) zw (1/6) Hört Pasch -> zw
Hat 3 und 4 gesagt:
Hört * : 33 (7/8) zw (1/8) Hört 5 : * (1/4) 33 (3/4) Hört Pasch -> zw
Hat 3 und 5 gesagt: Immer : zw
Hat 4 und 4 gesagt:
Hört * : 44 (7/20) zw (13/20) Hört 5 : * (1/10) 44 (3/10) zw (6/10) Hört Pasch -> zw
Hat 5 und 5 gesagt:
Immer : zw
Hat * und 4 gesagt:
Hört * : ** (5/6) 11 (1/6) Hört 5 : * (anschließend in 3.Runde immer **) Hört Pasch -> **
Hat * und 5 gesagt:
Immer : **
Alles weitere Anzweifeln !
Beweis: Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten wurde per PC durchgeführt mittels der gtf-Bibliothek; Siehe http://www.daimi.au.dk/~trold/gtf.html
Nachtrag (30.12.08): Eine komplette spieltheoretische Berechnung des Spieles mittels der performanceoptimierten PCx Bibliothek ergibt eine Gewinnwahrscheinlichkeit für den Startspieler von 48,6% (gerundet). Die dabei berechneten Strategien sind aber nicht mehr so anschaulich und können daher hier auch nicht mehr aufgeführt werden. Die obige Strategie für Spieler 1 ist also nur 0,6% vom Optimum entfernt! Ein paar weitere Erkenntnisse: • Setzt man voraus, dass der Startspieler in der ersten Runde nur eine 4 oder 5 bieten soll, so ist die obige Startspieler-Strategie sogar optimal! • Setzt man voraus, dass der Spieler 2 in der zweiten Runde immer anzweifelt, so ist die obige Strategie für den Spieler 2 mit der Gewinnwahrscheinlichkeit ½ sogar optimal ! • „Immer 4“ Strategie: Die im letzten Artikel beschriebene Gegenstrategie des Spielers 2 ist optimal(best response); die „Immer 4“ Strategie hat also eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 15/36 (41,7%). • „Immer 5“ Strategie: Diese Strategie hat dieselbe Gewinnwahrscheinlichkeit wie die „Immer 4“ Strategie: 15/36 ! (Unser kleiner running gag bei den WPGlern hat damit eine versöhnliche mathematische Lösung erhalten :) • „Immer X“ Strategie: Tja, wer hätte das gedacht; für X=1,2,3,4,5 ergibt sich hier immer die (nicht optimale) Gewinnwahrscheinlichkeit 15/36! Für X=* erhält man 10/36.
©2008, Günther Rosenbaum
Mini-Mäxchen und Mikro-Bluff mit 2 Personen(Teil 2)
Untersuchung einiger Strategien beim Spiel Mikro-Bluff für 2 Spieler
von Günther Rosenbaum , 11.07.2005
Wie im Teil 1 dieses Artikels beschrieben, ist mit „Mikro-Bluff“ hier das Endspiel von Bluff mit 2 Spielern und je einem Würfel gemeint.
Vor der Diskussion einer speziellen Strategie möchte ich aber noch 2 Zitate aus Teil II von Ferguson, Thomas. S.: Game Theory erläutern, da wir diese Argumente weiter unten nutzen werden.
Zitat 1:
The Minimax Theorem:
Every finite game has a value, and both players have minimax strategies.
We note one remarkable corollary of this theorem. If the rules of the game are changed so that Player II is required to announce her choice of a mixed strategy before Player I makes his choice, then the apparent advantage given to Player I by this is illusory. Player II can simply announce her minimax strategy.
…
Any p ∈X* that achieves the maximum of (3) is called a best response or a Bayes strategy against q. In particular, any row i that achieves the maximum of (1) is a (pure) Bayes strategy against q. There always exist pure Bayes strategies against q for every q ∈Y* in finite games. (Aus Teil II, Kapitel 4)
Wir sehen:
-
- Wenn ein Spieler seine optimale Minimax-Strategie wählt, so kann er diese ruhig veröffentlichen; sein Gegenspieler kann hieraus keinen Vorteil ziehen !
- Wenn wir zu einer vorgegebenen Strategie eines Spielers eine optimale Gegenstrategie suchen (best response), so findet man hier auch immer eine reine (nicht gemischte) Strategie! Eine solche optimale Gegenstrategie zu einer vorgegebenen Minimax-Strategie realisiert zwar den gleichen Spielwert wie die optimale Minimax-Strategie des Gegenspielers, ist allerdings im allgemeinen keine optimale Minimax-Strategie!
Zitat 2:
In general, the dimension of the space of behavioral strategies is much smaller than the dimension of the space of mixed strategies. The question arises – Can we do as well with behavioral strategies as we can with mixed strategies? The answer is we can if both players in the game have perfect recall . The basic theorem, due to Kuhn in 1953 says that in finite games with perfect recall, any distribution over the payoffs achievable by mixed strategies is achievable by behavioral strategies as well. (Aus Teil II, Kapitel 5)
Wir befassen uns hier immer mit der expliziten Darstellung des Spieles als „Kuhn-Baum“, also genau so, wie die Spieler ihre Züge abwechselnd durchführen … und nicht mit der Matrix-Darstellung des Spieles. Der obige Satz sagt nun, dass wir unsere Strategien als Verhaltensstrategien beschreiben dürfen – also zu jedem Zeitpunkt als Wahrscheinlichkeitsverteilung über die verfügbaren Alternativen! (Denn Bluff hat die Eigenschaft „perfect recall“, d.h. die Spieler vergessen keine Infos über frühere Züge und Erkenntnisse).
Nun aber Schluss mit der Theorie, die hier an dieser Stelle doch nie vollständig sein kann !
Wir wollen uns jetzt mit einer ganz speziellen Strategie bei Mikro-Bluff beschäftigen, die lange Zeit bei einigen Westparkgamern als ziemlich gut – ja sogar optimal galt!
Die folgende Behauptung ist falsch:
Der 1. Zug des Startspielers „Konstant 4 ansagen, unabhängig vom eigenen Würfelzug“ ist optimal beim Bluff-Endspiel mit 2 Personen mit jeweils 1 Würfel.
Leider ist das ja keine komplette Beschreibung einer Strategie, sondern nur der ERSTE Zug von vielen möglichen Strategien. Die Behauptung heißt also eigentlich nur: Es gibt eine optimale Minimax- Strategie (A) mit Startzug „Konstant 4“.
Diese Behauptung hat dann zu einer schnellen (und unbedachten) Wette geführt – weshalb ich diese Behauptung hier also widerlegen werde (und damit die Wette gewonnen habe J).
Der Gegenbeweis muss also zeigen, dass keine Strategie mit „Konstant 4 “ als Startzug (egal welche Folgeansagen gemacht werden), optimal sein kann! (Dies ist leider bedeutend schwieriger zu beweisen, als wenn diese Strategie komplett ausformuliert wäre mit allen Reaktionen in den Folgerunden!)
Wir führen den Beweis in 2 Schritten:
-
- Wir definieren eine Gegenstrategie (B1) für Spieler 2 und zeigen damit, dass die „Konstant 4 Strategie“ mit Wahrscheinlichkeit <= 15/36 gegen (B1) gewinnt.
Es mag noch eine bessere Gegenstrategie des Spielers 2 geben, aber wir wissen zu mindestens, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 1 bei optimaler Gegenwehr von Spieler 2 höchstens 15/36 ist ! - Wir definieren dann eine „bessere“ Strategie (A2) als „Konstant 4“, von welcher wir zeigen werden, dass sie bei optimaler Gegenwehr von Spieler 2 eine Gewinnwahrscheinlichkeit von mehr als 15/36 garantiert!
- Wir definieren eine Gegenstrategie (B1) für Spieler 2 und zeigen damit, dass die „Konstant 4 Strategie“ mit Wahrscheinlichkeit <= 15/36 gegen (B1) gewinnt.
Da die optimale Minimax-Strategie von Spieler 1 gerade so definiert ist, dass sie die beste Gewinnwahrscheinlichkeit unter allen möglichen Strategien von Spieler 1 bei optimaler Gegenwehr von Spieler 2 garantiert, kann „Konstant 4“ also nicht optimal sein – denn es gibt ja noch eine bessere Strategie (A2).
Beginnen wir also mit Schritt 1:
Sei die Strategie A1 für den Startspieler definiert durch:
1. Runde:
Ungesehen immer 4 ansagen !
2. Runde:
„optimal“ (mit vollständiger Kenntnis der Strategie B1, was dem Spieler 1 gegebenenfalls noch einen Vorteil verschafft)
Sei die Strategie B1 für den Spieler 2 definiert durch:
1. Runde:
4 gehört: Hat 1,2,3 : anzweifeln
: Hat 4,5 oder * : auf 5 erhöhen
2. Runde:
Hört * und hat * : Auf Pasch * erhöhen;
sonst immer anzweifeln
Behauptung 1: Gewinnwahrscheinlichkeit der Strategie A1 ist <= 15/36
Beweis:
Wir berechnen die Gewinnwahrscheinlichkeit von A1 bei fest vorgegebenem B1 und erhalten damit eine obere Schranke für die Gewinnwahrscheinlichkeit von A1.
Berechnung:
1. Sp2 hat 1,2,3 und hört 4:
Anzweifeln: 2/6 Gewinnwahrscheinlichkeit für Sp2, 1/6 für Sp1
2. Sp2 hat 4,5,* und hört 4:
Spieler 2 erhöht auf 5;
2.1 Sp1 hat 1..3:
Sp1 weiß: Spieler 2 hat 4,5 oder *;
Alternativen: Anzweifeln oder auf * oder Pasch 1..3 erhöhen ergibt 1/3 Chance;
Es ergeben sich also folgende Gewinnwahrscheinlichkeiten:
Sp2: ½ * ½ * 2/3= 6/36 Sp1: 3/36
2.2 Sp1 hat 4:
Ansage Pasch 4 und gewinnen mit 2/3 (anzweifeln oder * liefern nur 1/3)
Sp2: ½ * 1/6 * 1/3 =1/36 Sp1: 1/2*1/6*2/3 = 2/36
2.3 Sp1 hat 5:
Anzweifeln geht nicht; Erhöhen auf Pasch 5 liefert 2/3 ( * liefert nur 1/3)
Sp2: 1/2 * 1/6*1/3 = 1/36 Sp1: ½ * 1/6 * 2/3 = 2/36
2.4 Sp1 hat *:
Ansage *, Pasch 5/4 liefern 2/3; Pasch 1,2,3, * liefert 1/3
Sp2: ½* 1/6 * 1/3 = 1/36 Sp1: ½ * 1/6 * 2/3 = 2/36
In Summe ergeben sich also folgende Gewinnwahrscheinlichkeiten:
Sp2 = 12/36 + 6/36 + 1/36 +1/36 + 1/36 = 21/36
Sp1 = 6/36 + 3/36 + 2/36 + 2/36 + 2/36 = 15/36
Anbei noch die Matrix der Gewinnwahrscheinlichkeiten für Spieler 2 bei den 36 möglichen Würfelergebnissen (bei der oben fett markierten Strategie von Spieler 1; *1/36)::
| Sp1/Sp2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | * | Summe/6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 2/3 | 2/3 | 2/3 | 1 | 5/6 |
| 2 | 1 | 1 | 2/3 | 2/3 | 2/3 | 1 | 5/6 |
| 3 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 4/6 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 3/6 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1/3 |
| * | 0 | 0 | 1/3 | 1/3 | 1/3 | 2/3 | 5/18 |
| Summe/6 | 1/3 | 1/3 | 4/9 | 11/18 | 7/9 | 17/18 | 62/108 |
q.e.d.
Nun folgt der Schritt 2:
Sei die Strategie A2 für den Startspieler definiert durch:
1. Runde
1,2,* -> Zu je 1/3 Wahrscheinlichkeit 3,4,5 sagen
3,4,5 -> die Wahrheit sagen
2. Runde
Hört 4:
– hat 1,2,3: anzweifeln
– hat 4,5,*: auf Pasch 4 erhöhen
Hört 5:
– hat 1,2,3,4: anzweifeln
– hat 5,*: auf Pasch 5 erhöhen
Hört *:
– hat 1,2,3,4,5: anzweifeln
– hat *: Pasch * ansagen
Hört beliebigen Pasch : Anzweifeln
weitere Runden: Anzweifeln
Behauptung 2: Gewinnwahrscheinlichkeit der Strategie A2 ist >= 46/108>15/36
Beweis:
Spieler 2 kennt die Strategie von Spieler 1 und nutzt die optimale Gegenstrategie!
(Spieler 1 hat nach seinem zweiten Gebot alle Informationen über seinen Wurf preisgegeben!)
Die optimale Gegenstrategie von Spieler 2 ist jeweils fett markiert;
z.B. „hat 4: hört 3 : 4 : 5/6“ bedeutet:
Spieler 2 hat eine 4 geworfen; er hört das Gebot „3“ von Spieler 1 und antwortet mit einem Gebot „4“ und gewinnt in diesem Fall mit einer bedingten Wahrscheinlichkeit von „5/6“ . Die alternativen (schlechteren) Strategien sind in den Folgezeilen aufgeführt um zu überprüfen, dass keine besseren Alternativen vorhanden sind
Spieler 2
hat *: hört 3 : 5 : 1
Anzweifeln : 0
4 : 1
5 : 1
* : 5/6
Pasch 1,2 : 1/3
Pasch 3 : 2/3
Pasch 4,5 : 1/6
Pasch * : 1/6
hört 4 : 5 : 1
(Berechnung dito)
hört 5 : * : 5/6
Anzweifeln : 0
* : 5/6
Pasch 1,2 : 1/3
Pasch 3,4 : 1/6
Pasch 5 : 2/3
Pasch * : 1/6
hat 5: hört 3 : 5 : 5/6
Anzweifeln : 1/3
4 : 1/6
5 : 5/6
* : 1/6
Pasch 1,2,3,4 : 0
Pasch 5 : 1/6
Pasch * : 0
hört 4 : 5 :5/6
(Berechnung dito)
hört 5 : Pasch 5 : 2/3
Anzweifeln : 0
* : 1/6
Pasch 1,2,3,4 : 0
Pasch 5 : 2/3
Pasch * : 0
hat 4: hört 3 : 4 : 5/6
Anzweifeln : 1/3
4 : 5/6
5 : 1/6
* : 1/6
Pasch 1,2,3 : 0
Pasch 4 : 1/6
Pasch 5 : 0
Pasch * : 0
hört 4 : Pasch 4 : 2/3
Anzweifeln : 0
5 : 1/6
* : 1/6
Pasch 1,2,3 : 0
Pasch 4 : 2/3
Pasch 5 : 0
Pasch * : 0
hört 5 : Anzweifeln : 1/3
Anzweifeln : 1/3
* : 1/6
Pasch 1,2,3 : 0
Pasch 4 : 1/6
Pasch 5 : 0
Pasch * : 0
hat 3: hört 3 :Pasch 3 : 2/3
Anzweifeln : 0
4 : 1/6
5 : 1/6
* : 1/6
Pasch 1,2 : 0
Pasch 3 : 2/3
Pasch 4,5 : 0
Pasch * : 0
hört 4 :Anzweifeln : 1/3
Anzweifeln : 1/3
5 : 1/6
* : 1/6
Pasch 1,2 : 0
Pasch 3 : 1/6
Pasch 4,5 : 0
Pasch * : 0
hört 5 :Anzweifeln : 1/3
Anzweifeln : 1/3
* : 1/6
Pasch 1,2 : 0
Pasch 3 : 1/6
Pasch 4,5 : 0
Pasch * : 0
hat 2: Anzweifeln : 1/3
hört 3: anzweifeln : 1/3
4 : 1/6
5 : 1/6
* : 1/6
Pasch 1,3,4,5 : 0
Pasch 2 : 1/3
Pasch * : 0
Hört 4: anzweifeln : 1/3
5 : 1/6
* : 1/6
Pasch 1,3,4,5 : 0
Pasch 2 : 1/3
Pasch * : 0
Hört 5: anzweifeln : 1/3
* : 1/6
Pasch 1,3,4,5 : 0
Pasch 2 : 1/3
Pasch * : 0
hat 1: Anzweifeln : 1/3
(Berechnung wie bei 2)
In Summe ergeben sich also folgende Gewinnwahrscheinlichkeiten für Spieler 2:
1/6 * ( 2/3 + 1/3*5/6 + 2/3*5/6 + 1/3*2/3 + 1/3*5/6 + 1/3*2/3 + 1/3*1/3 +
+ 1/3*2/3 + 2/3*1/3 + 1/3 + 1/3)
= 1/6 * 1/18 *(12+5+10+4+5+4+2+4+4+6+6)
= 1/6 * 1/18 * 62 = 62/108
Sp1 = 46/108 > 45/108 = 15/36.
Anbei noch die Matrix der Gewinnwahrscheinlichkeiten für Spieler 2 bei den 36 möglichen Würfelergebnissen (bei der oben fett markierten Strategie von Spieler 1; *1/36)::
| Sp1/Sp2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | * | Summe/6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 2/3 | 2/3 | 2/3 | 1 | 5/6 |
| 2 | 1 | 1 | 2/3 | 2/3 | 2/3 | 1 | 5/6 |
| 3 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 4/6 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 3/6 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1/3 |
| * | 0 | 0 | 1/3 | 1/3 | 1/3 | 2/3 | 5/18 |
| Summe/6 | 1/3 | 1/3 | 4/9 | 11/18 | 7/9 | 17/18 | 62/108 |
q.e.d.
Die Untersuchung der „Konstant 4 Strategie“ ist damit abgeschlossen –
Die echten, optimalen Minimax-Strategien bei Mikro-Bluff kennen wir aber immer noch nicht ! Die obigen Untersuchungen liefern ein paar Hinweise darauf – vielleicht gibt es die Lösung dann in einem späteren Artikel ?!
Als Abschluss dieses Artikels möchte ich noch die Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeiten von einigen Strategien anfügen, die jeweils in der zweiten Runde generell „Anzweifeln“ !
Strategie A = „Konstant 5“:
Falls 1,2,3,4,5,* gewürfelt , sage 5 an
In Folgerunden immer anzweifeln !
Gewinnwahrscheinlichkeit = 1/3
Berechnung Strategie A:
1) Spieler 2 hört 5:
1a)er hat 1,2,3,4
Zweifeln liefert:
Spieler 2: 2/3 Wahrscheinlichkeit zu gewinnen
Alles andere ist schlechter.
1b) er hat 5
Pasch 5 liefert:
Spieler 2: 1/3
1c) er hat *
Ansage * liefert: 1
In Summe ergibt das:
Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2:
2/3 * 2/3 + 1/6 * 1/3 + 1/6 * 1 =
= 8/18 + 1/18 + 3/18
= 24/36
Strategie A: Spieler 1 hat also nur 12/36 = 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit !
Strategie B (Die modifizierte 4er Strategie; 0<=p<=1)
1,2,3,4,* -> 4
5 -> mit Wkeit p -> 5
mit Wkeit 1-p -> 4
Folgerunden anzweifeln.
Gewinnwahrscheinlichkeit = 10/36 + 3p/36
Berechnung Strategie B:
1)Spieler 2 hört 4
1a)er hat 1,2,3
Anzweifeln liefert: (4-p)/(6-p)
1b) hat 4
Pasch 4 liefert: 2/(6-p)
1c) hat 5
Ansage 5 liefert: 1
1d) hat *
Ansage * liefert: 1
In Summe ergibt Fall 1) also:
Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2:
(6-p)/6 *
( 1/2 * (4-p)/(6-p) +
1/6 * 2/(6-p) +
1/3 * (6-p)/(6-p) )
= 1/6 ( 2 – p/2 + 1/3 + 2 – p/3 )
= 1/6 (13/3 – p*5/6)
= 26/36 – p* 5/36
2) Spieler 2 hört 5
2a) er hat 1,2,3,4
Verloren: 0
2b) er hat 5,*
Ansage Pasch 5 liefert: 1
In Summe ergibt Fall 2) also:
Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2:
p/6 * ( 2/3 * 0 + 1/3 *1)
= p/18
1)+2) zusammen liefern also folgende Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2:
26/36 – P *5/36 + p/18
= 26/36 – p * 3/36
Sp1 minimiert dies mit p=1 zu 23/36 und garantiert sich mindestens 13/36 !!
Die Strategie „Konstant 4“ (entspricht p=0) liefert nur 1 – 26/36 = 10/36 Gewinnwahrscheinlichkeit !
In diesem Sinne ist die Strategie „Konstant 4“ (10/36) schlechter als „Konstant 5“ (12/36).
Aber noch etwas besser ist mit 13/36 die folgende Strategie (p=1):
1,2,3,4,* -> 4
5 -> 5
Folgerunden anzweifeln.
All diese Aussagen gelten natürlich nur, falls in Runde 2 immer angezweifelt wird !!
Strategie C
1 -> Pasch 1
2,3,4,5 -> die Wahrheit sagen
* -> Pasch 5
Folgerunden anzweifeln
Gewinnwahrscheinlichkeit = 13/36
Berechnung Strategie C:
1) Spieler 2 hört 2
hat 1 -> verloren
2 -> Pasch 2, gewinnt
3,4,5,* -> 3,4,5,* gewinnt
Wkeit: 1/6 * 5/6 = 5/36
2) hört 3
Wkeit: 1/6 * 4/6 = 4/36
3) hört 4
Wkeit: 1/6 * 3/6 = 3/36
4) hört 5
Wkeit: 1/6 * 2/6 = 2/36
5) hört Pasch 1
Anzweifeln liefert
Wkeit 1/6 * 2/3 = 1/9
6) hört Pasch 5
hat 1,2,3,4 -> anzweifeln, gewinnt
hat 5 -> verliert
hat * -> Pasch * , gewinnt
Wkeit 1/6 * 5/6 = 5/36
In Summe ergibt das also:
Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2:
1/36 * (5+4+3+2+4+5) = 23/36
Für Spieler 1 bleiben also noch 13/36 !
Dies ist genauso viel, wie die verbesserte „konstant 4“ Strategie !
Mini-Mäxchen und Mikro-Bluff mit 2 Personen
von Günther Rosenbaum
Mäxchen und Bluff(von Richard Borg, FX Schmid, 1993)/Liars Dice(MB, 1974) sind bekannte Würfelspiele. Mäxchen habe ich schon als Jugendlicher gespielt und Bluff/Liar´s Dice ist auch heute an geselligen Spieleabenden immer wieder auf dem Tisch.
In der amerikanischen mathematischen Literatur findet man auch Analysen des Spieles Liar´s Dice – aber Vorsicht – hier ist das bei uns unter dem Namen Mäxchen (oder Meier) bekannte Spiel gemeint. Literatur über Bluff habe ich nicht gefunden.
In unseren Spielrunden kommt immer wieder mal die Diskussion hoch, welches denn nun die beste Strategie im Endspiel bei Bluff wäre und der eine oder andere behauptet dann auch mal inbrünstig, dieses oder jenes Verhalten wäre das optimale!
Den (mathematischen) Beweis schuldig geblieben sind bisher jedoch alle – und auch eine plausible, einfache Strategie hat bisher noch keiner angegeben!
Gerade wegen dieser angeregten Diskussionen stellt sich dem ingefleischten Spielefreak da natürlich die Frage nach einer optimalen Strategie für diese Spiele. Diese ist leider nicht so einfach zu finden – die Theorie bestätigt uns hier allerdings zumindest die Existenz einer solchen (gemischten) optimalen Strategie für 2 Personen.
Daher betrachten wir hier zuerst mal eine vereinfachte Version des Spieles Mäxchen – Mini-Mäxchen für 2 Personen:
Es wird mit einem Würfel gespielt. Spieler 1 würfelt verdeckt, sagt eine Würfelzahl an und behauptet, dass er mindestens diese Zahl gewürfelt hat.
-
- a) Spieler 2 kann dieses anzweifeln – in diesem Fall wird aufgedeckt und falls die behauptete Zahl größer als die gewürfelte Zahl ist gewinnt Spieler 2 ansonsten Spieler 1.
- b) Spieler 2 kann diese Behauptung auch glauben – dann muss er erneut Würfeln und einen höheren Wert behaupten. Spieler 1 kann dann wieder glauben oder anzweifeln, u.s.w.
Dieses Spiel sieht sehr einfach aus – trotzdem ist die optimale Strategie nicht trivial.
Zu beachten ist hierbei, dass das Spiel ja das Zufallselement „Würfel“ beinhaltet – wir können (im Allgemeinen) also keine Strategie angeben mit der wir immer gewinnen. Stattdessen suchen wir eine Strategie, bei welcher wir bei häufiger Wiederholung des Spieles möglichst oft gewinnen!
Zuerst betrachten wir folgende (nicht optimale, aber einfache) Strategie:
Spieler 1: Sagt in der ersten Runde immer die Wahrheit und zweifelt bei einer Folgerunde immer an.
Spieler 2: Glaubt die Behauptung von Spieler 1 immer (außer die 6) und versucht besser zu würfeln.
Analyse:
Was ist die optimale Gegenstrategie für Spieler 2?
Da Spieler 1 immer die Wahrheit sagt, braucht Spieler2&xnbsp; also nie anzuzweifeln; da Spieler 1 in der zweiten Runde immer anzweifelt/aufdeckt, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2: {Spieler1 sagt 1 und Spieler 2 würfelt 2..6} + {Spieler 1 sagt 2 und Spieler 2 würfelt 3..6} + … = 1/6 * {5/6 + 4/6 + 3/6 + 2/6 + 1/6 + 0} = 15/36 .
Spieler 1 hat also eine Gewinnwahrscheinlichkeit von mindestens 21/36!
Was ist nun die optimale Gegenstrategie für Spieler 1?
Da Spieler 2 ja immer alles glaubt (außer die 6), ist es für Spieler 1 natürlich das Beste, die Chancen für das Nachwürfeln des Spielers 2 zu minimieren – er behauptet also bei 1..5 immer, mindestens eine 5 gewürfelt zu haben. Spieler 2 kann nun mit 1/6 Wahrscheinlichkeit noch eine 6 würfeln und gewinnen. Spieler 1 gewinnt also mit Wahrscheinlichkeit von höchstens 1/6 * (5 * 5/6 +1) = 31/36!
Ergebnis:
Wir sehen, die Strategie von Spieler 2 ist die optimale Gegenstrategie zu Spieler 1 aber nicht umgekehrt! Die beiden Strategien stehen also nicht im gegenseitigen Gleichgewicht zueinander – sie sind also nicht optimal!
Nun zur optimalen Strategie:
Spieler 1 gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 41/60 (=Wert des Spieles).
Strategie Spieler 1:
Wurf 1 -> er behauptet 3 bzw. 4 bzw. 5 mit den Wahrscheinlichkeiten 3/10, 5/10, 2/10.
(d.h. bei 1 lügt er immer!)
Wurf 2 -> er behauptet 2 bzw. 3 mit den Wahrscheinlichkeiten 3/10, 7/10
Wurf 3, 4, 5, 6 -> er sagt die Wahrheit
In der zweiten Runde zweifelt Spieler 1 alles an!
Strategie Spieler 2:
Vorgabe 1 oder 2 -> immer glauben und nachwürfeln
Vorgabe 3 -> mit 1/3 Wahrscheinlichkeit anzweifeln, sonst glauben
Vorgabe 4-> mit 1/2 Wahrscheinlichkeit anzweifeln, sonst glauben
Vorgabe 5 -> mit 3/5 Wahrscheinlichkeit anzweifeln, sonst glauben
Vorgabe 6 -> immer anzweifeln
Falls Spieler 2 glaubt und nachwürfelt, so sagt er dann die nachgewürfelte Zahl an, sofern diese genügend hoch ist. Andernfalls erhöht er das Gebot des Vorgängers um 1.
In einer zweiten Runde zweifelt Spieler 2 alles an!
Beweis:
1) Wir nehmen jetzt an, Spieler 1 nutzt die angegebene Strategie und wir suchen jetzt die optimale Gegenstrategie.
- a)Wenn Spieler 2 die 6 hört, dann hat Spieler1 auch die 6 und Spieler 2 verliert beim zweifeln.
- b)Spieler 2 hört als Ansage die 5. Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 wirklich die 5 hat ist P(Spieler1 hat 5 | Spieler 1 sagt 5) = P(Spieler 1 hat 5 und sagt 5)/P(Spieler 1 sagt 5) = (1/6 ) / (1/6 + 1/6 * 2/10) = (1/6) / (1/5) = 5/6 Wenn Spieler 2 anzweifelt, so gewinnt er also mit Wahrscheinlichkeit 1/6; glaubt Spieler 2 das Gebot von 5, so kann er noch mit Wahrscheinlichkeit 1/6 eine 6 nachwürfeln und gewinnen. Beide Wahlmöglichkeiten sind für Spieler 2 gleich schlecht – dieses Prinzip der „Indifferenz“ zwischen den sinnvollen Wahlmöglichkeiten ist charakteristisch für optimale Strategien!
- c)Spieler 2 hört als Ansage die 4. Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 wirklich die 4 hat ist P(Spieler1 hat 4 | Spieler 1 sagt 4) = P(Spieler 1 hat 4 und sagt 4)/P(Spieler 1 sagt 4) = (1/6) / ( 1/6 + 1/6 * ½) = (1/6) / (1/4) = 2/3 Wenn Spieler 2 anzweifelt, so gewinnt er also mit Wahrscheinlichkeit 1/3; glaubt Spieler 2 das Gebot von 4, so kann er noch mit Wahrscheinlichkeit 1/3 eine 5 oder 6 nachwürfeln und gewinnen – denn Spieler 1 wird auf jeden Fall anzweifeln und ein Bluffen wird also nicht wirken.
- d)Spieler 2 hört als Ansage die 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 wirklich die 3 hat ist P(Spieler1 hat 3 | Spieler 1 sagt 3) = P(Spieler 1 hat 3 und sagt 3)/P(Spieler 1 sagt 3) = (1/6) / ( 1/6 + 1/6 * 3/10 + 1/6 * 7/10) = (1/6) / (1/3) = 1/2 Wenn Spieler 2 anzweifelt, so gewinnt er also mit Wahrscheinlichkeit 1/2; glaubt Spieler 2 das Gebot von 3, so kann er noch mit Wahrscheinlichkeit 1/2 eine 4, 5 oder 6 nachwürfeln und gewinnen.
- e)Spieler 2 hört als Ansage die 2. Spieler 1 sagt also die Wahrheit, Spieler 2 glaubt und würfelt mit Wahrscheinlichkeit 2/3 etwas Besseres.
- f)Die Ansage 1 wird von Spieler 1 nie angesagt.
- g)Was ist nun die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 1 bei optimaler Gegenstrategie von Spieler 2? Hört Spieler 2 eine Ansage von 3 bis 6 von Spieler 1, so können wir annehmen, dass Spieler 2 anzweifelt, da er ja gleich hohe Gewinnwahrscheinlichkeiten beim Zweifeln und Glauben hat. Spieler 1 gewinnt also, wenn er 3 .. 6 sagt und nicht gelogen hat. Dies ist genau dann der Fall, wenn er 3, 4, 5 oder 6 gewürfelt hat (Wahrscheinlichkeit 2/3). Zusätzlich ist noch der Fall zu betrachten, dass Spieler 1 eine 2 würfelt (1/6) und auch eine 2 ansagt (3/10) und dann noch Spieler 2 nichts besseres würfelt (1/3). Also ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 1 mindestens = 2/3 + 1/6 * 3/10 * 1/3 = 2/3 + 1/60 = 41/60 !!
2) Als zweites nehmen wir jetzt an, Spieler 2 nutzt die angegebene Strategie und wir suchen jetzt die optimale Gegenstrategie von Spieler 1. (D.h. wir suchen die maximale Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 1.)
a)Nehmen wir an, Spieler 1 wirft eine 1 oder 2. Blufft er und sagt eine 3, 4 oder 5 an, so gewinnt er, wenn Spieler 2 dies glaubt und nichts besseres würfelt, also mit Wahrscheinlichkeiten (bei 3): 2/3 * ½ = 1/3 (bei 4): ½ * 2/3 = 1/3 (bei 5): 2/5 * 5/6 = 1/3 Bei einer Ansage von 6 würde er sofort verlieren und auch eine Ansage von 1 ist mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/6 für Spieler 1 nicht sinnvoll. Was geschieht jetzt noch bei einer Ansage von 2? Spieler 2 glaubt diese und würfelt nach – womit Spieler 1 wiederum mit Wahrscheinlichkeit 1/3 gewinnt. Auch hier ist also wieder das Prinzip der Indifferenz zu beobachten! Spieler 1 gewinnt hierbei also bestenfalls mit Wahrscheinlichkeit 1/3.
b)Nehmen wir an, Spieler 1 wirft eine 3. – Würde er mit einer 1 oder 2 bluffen, so gewinnt er nur mit 1/6 oder 1/3 Wahrscheinlichkeit. – Sagt er die Wahrheit – also die 3 – an, so gewinnt er, falls Spieler 2 anzweifelt oder wenn Spieler 2 glaubt und nichts Besseres würfelt. Er gewinnt also mit Wahrscheinlichkeit 1/3 + 2/3 * ½ = 2/3. – Blufft er mit 4, so gewinnt er nur, wenn Spieler 2 dieses glaubt und nichts besseres würfelt; also mit Wahrscheinlichkeit ½ * 2/3 = 1/3 – Blufft er mit 5 so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit 2/5 * 5/6 = 1/3 – Blufft er mit 6, so verliert er immer. Also: Die beste Strategie ist hier, die Wahrheit zu sagen mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit 2/3!!
c)Nehmen wir an, Spieler 1 wirft eine 4. Wie unter b) sieht man wieder, dass man auch jetzt am besten die Wahrheit sagt mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von ½ + ½ * 2/3 = 5/6
d)Nehmen wir an, Spieler 1 wirft eine 5. Wie unter b) sieht man wieder, dass man auch jetzt am besten die Wahrheit sagt mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 3/5 + 2/5 * 5/6 = 14/15
e)Wirft Spieler1 eine 6, so gewinnt er sicher wenn er diese auch ansagt.
f)Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann Spieler 1 also höchstens gewinnen bei der vorgegebenen Strategie von Spieler 2? Wie oben berechnet erhalten wir 1/6 * ( 1/3 + 1/3 + 2/3 + 5/6 + 14/15 + 1) = 1/6 * (10/30 + 10/30 + 20/30 + 25/30 + 28/30 + 30/30) = 1/6 * (123/30) = 123/180 = 41/60
3) Die beiden beschriebenen Strategien für Spieler 1 und 2 sind also optimal im Sinne des Minimax Theorems der Spieltheorie und der Spielwert des Spieles beträgt 41/60. Spieler 1 gewinnt also bei Anwendung der vorgegebenen Strategie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 41/60 und Spieler 2 verliert höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von 41/60 bei Anwendung seiner optimalen Strategie!
Nachdem wir oben gesehen haben, dass selbst das sehr einfache Minimäxchen schon eine komplizierte optimale Strategie besitzt, betrachten wir nun das Spiel Bluff/Liar´s Dice und versuchen uns der optimalen Strategie des Endspieles bei Bluff (2 Personen mit je einem Würfel) langsam zu nähern…
Daher betrachten wir hier zuerst mal eine vereinfachte Version des Spieles Bluff –
Micro-Bluff/Micro Liars Dice für 2 Personen:
Es wird mit je&xnbsp; einem Würfel pro Spieler gespielt. Beide Spieler würfeln verdeckt, Spieler 1&xnbsp;&xnbsp; sagt eine Würfelzahl und eine Häufigkeit an&xnbsp; und behauptet, dass beide Spieler gemeinsam diese Zahl in mindestens dieser Häufigkeit gewürfelt haben.
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- a) Spieler 2 kann dieses anzweifeln – in diesem Fall wird aufgedeckt und falls die Behauptung falsch war gewinnt Spieler 2 ansonsten Spieler 1.
- b) Spieler 2 kann diese Behauptung auch glauben und das Gebot erhöhen – dann muss er(ohne erneutes Würfeln) eine höhere Würfelzahl bei gleicher Häufigkeit oder eine beliebige Würfelzahl mit höherer Häufigkeit behaupten. Spieler 1 kann dann wieder glauben oder anzweifeln, u.s.w.
- c) Falls auf dem Würfel auch ein Stern vorhanden ist, gilt dieser als höchste Zahl und als Joker für jede andere Zahl. Die Ordnung der Gebote ist dann so, dass direkt vor 2k Einsen das Gebot von k Sternen einzuordnen ist.
Nano Liars Dice (I):
Mit Würfel W6 und den Geboten 1<2<3<4<5<6 , also ohne Pasch und ohne Stern!
Optimale Strategie(für Nano Liars Dice (I)):
Spieler 1 gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 7/12&xnbsp; (=Wert des Spieles).
Strategie Spieler 1:
Spieler 1 sagt immer die gewürfelte Zahl an, also die Wahrheit.
In 2-ter Runde immer anzweifeln!
Strategie Spieler 2:
Ist der eigene Wurf von Spieler 2 höher als die Ansage von Spieler 1,&xnbsp; dann erhöht er auf die gewürfelte Zahl;&xnbsp; ansonsten zweifelt er an.
In 2-ter Runde immer anzweifeln!
Analyse/Beweis:
1a)Wir nehmen jetzt an, Spieler 1 nutzt die angegebene Strategie und wir suchen jetzt die optimale Gegenstrategie. (zu beachten ist hier, dass Spieler 1 ja in der zweiten Runde immer anzweifelt).
1b)Wenn Spieler 2 die 6 hört, dann hat Spieler1 auch die 6 und Spieler 2 verliert beim Zweifeln.
1c)Spieler 2 hört als Ansage ein x mit x=1,2,3,4 oder 5. Spieler 1 sagt immer die Wahrheit und zweifelt in der 2-ten Runde. Anzweifeln macht also keinen Sinn und Bluffen auch nicht. Also gewinnt Spieler 2 genau dann, wenn er besser als die Ansage von Spieler 1 gewürfelt hat und dieses dann ansagt! Bei einer Ansage von x gewinnt Spieler 2 also mit Wahrscheinlichkeit (6-x)/6, wohingegen Spieler 1 mit Wahrscheinlichkeit x/6 gewinnt.
1d)Was ist nun die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 1 bei optimaler Gegenstrategie von Spieler 2? (Spieler 2 hört 6&xnbsp; + Spieler 2 hört 5 und verliert + Spieler 2 hört 4 und verliert + ….) P(Spieler 1 gewinnt) = 1/6 * (1 + 5/6 + 4/6 + 3/6 + 2/6 + 1/6) = 21/36 = 7/12 .
2) Als zweites nehmen wir jetzt an, Spieler 2 nutzt die angegebene Strategie und wir suchen jetzt die optimale Gegenstrategie von Spieler 1. (D.h. wir suchen die maximale Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 1.) Beachte: Spieler 2 zweifelt in der 2-ten Runde immer an!
2a)Spieler 1 kann hier prinzipiell auch bluffen. Nehmen wir an, Spieler 1 blufft mit einer Ansage y < x , wenn er x gewürfelt hat. => Spieler 2 habe a gewürfelt; nach seiner Strategie gilt: (I)&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; a < y&xnbsp; , Spieler 2 zweifelt . Spieler 1 verliert (außer, wenn a = y) (II)&xnbsp;&xnbsp; y < a < x , Spieler 2 glaubt und behauptet a. Spieler 1 erhöht auf x und gewinnt. (III) a > x , Spieler 2 glaubt und behauptet a. Spieler 1 verliert. Hätte Spieler 1 nicht geblufft und gleich x behauptet, so hätte er im Fall (I) immer gewonnen, im Fall (II) genauso gewonnen und im Fall (III) noch bei a = x gewonnen. In allen Fällen wäre er also ohne Bluff („tiefstapeln“) besser gewesen ! Da wir die optimale Gegenstrategie für Spieler 1 suchen, brauchen wir also den Fall, dass wir eine kleinere Zahl ansagen als wir gewürfelt haben, nicht mehr zu betrachten!
2b)Wir nehmen an, Spieler 1 hat x gewürfelt und y > x angesagt. Spieler 2 hat a gewürfelt. Ist a = y (Wahrscheinlichkeit 1/6), so gewinnt Spieler 1. Ist a < y (Wahrscheinlichkeit (y-1)/6 ), so gewinnt Spieler 1, falls er nicht gelogen hat.(Falls er gelogen hat, also y > x, so würde ein Bluff mit y+1 sofort erkannt werden, da Spieler 2 in der zweiten Runde ja immer anzweifelt. Hier benötigen wir Aussage a), denn bei y < x wäre eine Erhöhung auf x möglich). Ist a > y, so gewinnt Spieler 2, da ja Spieler 1 wegen y > x nicht mehr ohne zu bluffen erhöhen kann! Mit P(a | b) = P(a und b) / P(b) erhalten wir also: P(Spieler 1 gewinnt) = = P(Spieler 1 sagt 1) * ( 1/6 ) + + P(Spieler 1 sagt 2) * ( 1/6 + (2-1)/6 *P(Spieler 1 hat 2 | Spieler 1 sagt 2) ) +…+ P(Spieler 1 sagt 6) * (1/6 + (6-1)/6 * P(Spieler 1 hat 6 | Spieler 1 sagt 6) ) = 1/6 * ( P(Spieler 1 sagt 1) + …+ P(Spieler 1 sagt 6) ) + + 1/6 * P(Spieler 1 hat 2 und sagt 2) + 2/6 * P(Spieler 1 hat 3 und sagt 3)+ + … + 5/6 * P(Spieler 1 hat 6 und sagt 6) = 1/6 * ( 1 ) + 1/6 * P(Spieler 1 hat 2 und sagt 2) + + 2/6 * P(Spieler 1 hat 3 und sagt 3) +…+ 5/6 * P(Spieler 1 hat 6 und sagt 6).
Nun ist&xnbsp; P(Spieler 1 hat y und sagt y) < P(Spieler 1 hat y) = 1/6. Damit erhalten wir P(Spieler 1 gewinnt) < < 1/6 + 1/6 * 1/6 + 2/6 * 1/6 + … + 5/6 * 1/6 = 1/36 * (1 +2 +3 + 4 +5 + 6) = 7/12. Die optimale Gegenstrategie von Spieler 1 gewinnt also mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 7/12; wenn Spieler 1 bei einem Wurf von 2 bis 6 immer die Wahrheit sagt, so erreicht er diese 7/12 auch!
3) Die beiden beschriebenen Strategien für Spieler 1 und 2 sind also wieder optimal im Sinne des Minimax Theorems der Spieltheorie und der Spielwert des Spieles beträgt 7/12!
Bemerkung: Der Spielwert des Spieles ist 7/12 und eindeutig; die optimalen Strategien sind im Allgemeinen nicht eindeutig! Z.B. kann Spieler 1 im obigen Beispiel beim Wurf einer 1 auch jeden anderen Wert ansagen; oder auch mit Wahrscheinlichkeiten 0,7 und 0,3 die Werte 3 und 4 ansagen . Seine Gewinnwahrscheinlichkeit bleibt weiterhin 7/12 bei optimalem Gegenspiel von Spieler 2! Spieler 2 kann seine Strategie noch dahingehend verbessern, dass er auf nicht optimales Spiel seines Gegners reagiert – z.B. im Fall, dass er genau die Ansage seines Gegners auch gewürfelt hat (und damit beim Zweifeln automatisch verliert), kann er bluffen, die Ansage erhöhen und hoffen, dass sein Gegner nicht anzweifelt !
Nano Liars Dice (II):
Mit Würfel Wn und den Geboten 1<2< … < n-1 < n , also mit einem n-seitigen Würfel und ohne Pasch und ohne Stern!
Optimale Strategie(für Nano Liars Dice (II)):
Spieler 1 gewinnt mit Wahrscheinlichkeit ½ + 1/(2n) (=Wert des Spieles).
Strategie Spieler 1:
Spieler 1 sagt immer die gewürfelte Zahl an, also die Wahrheit.
In 2-ter Runde immer anzweifeln!
Strategie Spieler 2:
Ist der eigene Wurf von Spieler 2 höher als die Ansage von Spieler 1,&xnbsp; dann erhöht er auf die gewürfelte Zahl; ansonsten zweifelt er an.
In 2-ter Runde immer anzweifeln!
Beweis:
Der Beweis ist identisch zu Nano Liars Dice (I).
Der Spielwert berechnet sich aus
(1/n2) * (n + (n-1) + … + 1) =
= (1/n2) * (n + 1) * (n/2)
= (1/n2) * (n2/2&xnbsp; + n/2)
= ½ + 1/(2n)
Bemerkung:
Würde man noch den „Stern“ zulassen, als höchste Zahl – aber auch als Joker, so ändert sich die Strategie nicht. Würfelt jemand den Stern, so würde man diesen sofort ansagen und gewinnen.
Nano Liars Dice (III):
Mit Würfel W6 und den Geboten 1<2<3<4<5<6<11<22<33<44<55<66, also mit Pasch aber ohne Stern!
Wie ändern sich nun die Strategien der Spieler?
Hier ein paar Vorüberlegungen:
Kann Spieler 1 schon einen Pasch vorhersagen in seiner ersten Runde?
Wenn Spieler 1 eine 1 gewürfelt hat, dann könnte er 11 (Pasch 1) ansagen (und sich damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/6 nach einer geworfenen 1 bewahren) – aber in allen anderen Fällen würde er sich seine Gewinnwahrscheinlichkeit ja auf 1/6 reduzieren!
Das Einführen des Pasches ist also wohl ein Vorteil für Spieler 2.
Allenfalls, wenn Spieler 1 in der ersten Runde „tiefstapelt“, könnte er in der zweiten Runde sinnvoller weise auf einen Pasch erhöhen.
Wie reagiert man, wenn der Gegner einen Pasch angesagt hat?
Wenn die Ansage falsch ist, so kann man ruhig anzweifeln – wenn die Ansage richtig ist, so kann man sowieso nicht mehr erhöhen und damit auch gleich anzweifeln.
Also: Ein vom Gegner angesagter Pasch sollte sofort angezweifelt werden.
Beispiel:
Spieler 1 sagt 6 an.
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- Spieler 2 würfelt a zwischen 1 und 5. Er kann Anzweifeln oder Pasch a ansagen. Will er aber bei Pasch a gewinnen, so müsste Spieler 1 auch ein a<6 gewürfelt haben und hätte somit bei der Ansage von 6 auch gelogen. Damit sollte Spieler 2 also direkt anzweifeln
- Spieler 2 würfelt auch eine 6. Wenn er Anzweifelt, so hätte er verloren. Also kann er genauso gut gleich Pasch 6 ansagen und gewinnt, falls Spieler 1 nicht gelogen hat.
Korrekturen, Anregungen und insbesondere weiterführende Vermutungen und Lösungen werden gerne entgegengenommen!
Literatur:
Ferguson, Thomas. S.: Game Theory. Class notes for Math 167, Fall 2000
Models for the game of Liar´s dice. Stochastic games and related topics. In honor of Prof. L. S. Shapley, Proc. Workshop, Chicago/IL (USA) 1987, Theory Decis. Libr., Ser. C 7, 15-28 (1991).
The tactics of liar dice. R. Stat. Soc.,Ser.C 38, No.3, 507-516 (1989). [ISSN 0035-9254]
Ponssard, Jean-Pierre; Sorin, Sylvain: Optimal behavior strategies in 0-sum games with almost perfect information. Math. Oper. Res. 7, 14-31 (1982). [ISSN 0364-765X]