Mäxchen

Mini-Mäxchen und Mikro-Bluff mit 2 Personen(Teil 2)

Untersuchung einiger Strategien beim Spiel Mikro-Bluff für 2 Spieler

von Günther Rosenbaum , 11.07.2005

Wie im Teil 1 dieses Artikels beschrieben, ist mit „Mikro-Bluff“ hier das Endspiel von Bluff mit 2 Spielern und je einem Würfel gemeint.

Vor der Diskussion einer speziellen Strategie möchte ich aber noch 2 Zitate aus Teil II von Ferguson, Thomas. S.: Game Theory erläutern, da wir diese Argumente weiter unten nutzen werden.

Zitat 1:

The Minimax Theorem:

Every finite game has a value, and both players have minimax strategies.

We note one remarkable corollary of this theorem. If the rules of the game are changed so that Player II is required to announce her choice of a mixed strategy before Player I makes his choice, then the apparent advantage given to Player I by this is illusory. Player II can simply announce her minimax strategy.

…

Any p ∈X* that achieves the maximum of (3) is called a best response or a Bayes strategy against q. In particular, any row i that achieves the maximum of (1) is a (pure) Bayes strategy against q. There always exist pure Bayes strategies against q for every q ∈Y* in finite games. (Aus Teil II, Kapitel 4)

Wir sehen:

- Wenn ein Spieler seine optimale Minimax-Strategie wählt, so kann er diese ruhig veröffentlichen; sein Gegenspieler kann hieraus keinen Vorteil ziehen !
- Wenn wir zu einer vorgegebenen Strategie eines Spielers eine optimale Gegenstrategie suchen (best response), so findet man hier auch immer eine reine (nicht gemischte) Strategie! Eine solche optimale Gegenstrategie zu einer vorgegebenen Minimax-Strategie realisiert zwar den gleichen Spielwert wie die optimale Minimax-Strategie des Gegenspielers, ist allerdings im allgemeinen keine optimale Minimax-Strategie!

Zitat 2:

In general, the dimension of the space of behavioral strategies is much smaller than the dimension of the space of mixed strategies. The question arises – Can we do as well with behavioral strategies as we can with mixed strategies? The answer is we can if both players in the game have perfect recall . The basic theorem, due to Kuhn in 1953 says that in finite games with perfect recall, any distribution over the payoffs achievable by mixed strategies is achievable by behavioral strategies as well. (Aus Teil II, Kapitel 5)

Wir befassen uns hier immer mit der expliziten Darstellung des Spieles als „Kuhn-Baum“, also genau so, wie die Spieler ihre Züge abwechselnd durchführen … und nicht mit der Matrix-Darstellung des Spieles. Der obige Satz sagt nun, dass wir unsere Strategien als Verhaltensstrategien beschreiben dürfen – also zu jedem Zeitpunkt als Wahrscheinlichkeitsverteilung über die verfügbaren Alternativen! (Denn Bluff hat die Eigenschaft „perfect recall“, d.h. die Spieler vergessen keine Infos über frühere Züge und Erkenntnisse).

Nun aber Schluss mit der Theorie, die hier an dieser Stelle doch nie vollständig sein kann !

Wir wollen uns jetzt mit einer ganz speziellen Strategie bei Mikro-Bluff beschäftigen, die lange Zeit bei einigen Westparkgamern als ziemlich gut – ja sogar optimal galt!

Die folgende Behauptung ist falsch:

Der 1. Zug des Startspielers „Konstant 4 ansagen, unabhängig vom eigenen Würfelzug“ ist optimal beim Bluff-Endspiel mit 2 Personen mit jeweils 1 Würfel.

Leider ist das ja keine komplette Beschreibung einer Strategie, sondern nur der ERSTE Zug von vielen möglichen Strategien. Die Behauptung heißt also eigentlich nur: Es gibt eine optimale Minimax- Strategie (A) mit Startzug „Konstant 4“.

Diese Behauptung hat dann zu einer schnellen (und unbedachten) Wette geführt – weshalb ich diese Behauptung hier also widerlegen werde (und damit die Wette gewonnen habe J).

Der Gegenbeweis muss also zeigen, dass keine Strategie mit „Konstant 4 “ als Startzug (egal welche Folgeansagen gemacht werden), optimal sein kann! (Dies ist leider bedeutend schwieriger zu beweisen, als wenn diese Strategie komplett ausformuliert wäre mit allen Reaktionen in den Folgerunden!)

Wir führen den Beweis in 2 Schritten:

1. Wir definieren eine Gegenstrategie (B1) für Spieler 2 und zeigen damit, dass die „Konstant 4 Strategie“ mit Wahrscheinlichkeit <= 15/36 gegen (B1) gewinnt.
  Es mag noch eine bessere Gegenstrategie des Spielers 2 geben, aber wir wissen zu mindestens, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 1 bei optimaler Gegenwehr von Spieler 2 höchstens 15/36 ist !
2. Wir definieren dann eine „bessere“ Strategie (A2) als „Konstant 4“, von welcher wir zeigen werden, dass sie bei optimaler Gegenwehr von Spieler 2 eine Gewinnwahrscheinlichkeit von mehr als 15/36 garantiert!

Da die optimale Minimax-Strategie von Spieler 1 gerade so definiert ist, dass sie die beste Gewinnwahrscheinlichkeit unter allen möglichen Strategien von Spieler 1 bei optimaler Gegenwehr von Spieler 2 garantiert, kann „Konstant 4“ also nicht optimal sein – denn es gibt ja noch eine bessere Strategie (A2).

Beginnen wir also mit Schritt 1:

Sei die Strategie A1 für den Startspieler definiert durch:

1. Runde:

Ungesehen immer 4 ansagen !

2. Runde:

„optimal“ (mit vollständiger Kenntnis der Strategie B1, was dem Spieler 1 gegebenenfalls noch einen Vorteil verschafft)

Sei die Strategie B1 für den Spieler 2 definiert durch:

1. Runde:

4 gehört: Hat 1,2,3 : anzweifeln

: Hat 4,5 oder * : auf 5 erhöhen

2. Runde:

Hört * und hat * : Auf Pasch * erhöhen;

sonst immer anzweifeln

Behauptung 1: Gewinnwahrscheinlichkeit der Strategie A1 ist <= 15/36

Beweis:

Wir berechnen die Gewinnwahrscheinlichkeit von A1 bei fest vorgegebenem B1 und erhalten damit eine obere Schranke für die Gewinnwahrscheinlichkeit von A1.

Berechnung:

1. Sp2 hat 1,2,3 und hört 4:

Anzweifeln: 2/6 Gewinnwahrscheinlichkeit für Sp2, 1/6 für Sp1

2. Sp2 hat 4,5,* und hört 4:

Spieler 2 erhöht auf 5;

2.1 Sp1 hat 1..3:

Sp1 weiß: Spieler 2 hat 4,5 oder *;

Alternativen: Anzweifeln oder auf * oder Pasch 1..3 erhöhen ergibt 1/3 Chance;

Es ergeben sich also folgende Gewinnwahrscheinlichkeiten:

Sp2: ½ * ½ * 2/3= 6/36 Sp1: 3/36

2.2 Sp1 hat 4:

Ansage Pasch 4 und gewinnen mit 2/3 (anzweifeln oder * liefern nur 1/3)

Sp2: ½ * 1/6 * 1/3 =1/36 Sp1: 1/2*1/6*2/3 = 2/36

2.3 Sp1 hat 5:

Anzweifeln geht nicht; Erhöhen auf Pasch 5 liefert 2/3 ( * liefert nur 1/3)

Sp2: 1/2 * 1/6*1/3 = 1/36 Sp1: ½ * 1/6 * 2/3 = 2/36

2.4 Sp1 hat *:

Ansage *, Pasch 5/4 liefern 2/3; Pasch 1,2,3, * liefert 1/3

Sp2: ½* 1/6 * 1/3 = 1/36 Sp1: ½ * 1/6 * 2/3 = 2/36

In Summe ergeben sich also folgende Gewinnwahrscheinlichkeiten:

Sp2 = 12/36 + 6/36 + 1/36 +1/36 + 1/36 = 21/36

Sp1 = 6/36 + 3/36 + 2/36 + 2/36 + 2/36 = 15/36

Anbei noch die Matrix der Gewinnwahrscheinlichkeiten für Spieler 2 bei den 36 möglichen Würfelergebnissen (bei der oben fett markierten Strategie von Spieler 1; *1/36)::

Sp1/Sp2	1	2	3	4	5	*	Summe/6
1	1	1	2/3	2/3	2/3	1	5/6
2	1	1	2/3	2/3	2/3	1	5/6
3	0	0	1	1	1	1	4/6
4	0	0	0	1	1	1	3/6
5	0	0	0	0	1	1	1/3
*	0	0	1/3	1/3	1/3	2/3	5/18
Summe/6	1/3	1/3	4/9	11/18	7/9	17/18	62/108

q.e.d.

Nun folgt der Schritt 2:

Sei die Strategie A2 für den Startspieler definiert durch:

1. Runde

1,2,* -> Zu je 1/3 Wahrscheinlichkeit 3,4,5 sagen

3,4,5 -> die Wahrheit sagen

2. Runde

Hört 4:

– hat 1,2,3: anzweifeln

– hat 4,5,*: auf Pasch 4 erhöhen

Hört 5:

– hat 1,2,3,4: anzweifeln

– hat 5,*: auf Pasch 5 erhöhen

Hört *:

– hat 1,2,3,4,5: anzweifeln

– hat *: Pasch * ansagen

Hört beliebigen Pasch : Anzweifeln

weitere Runden: Anzweifeln

Behauptung 2: Gewinnwahrscheinlichkeit der Strategie A2 ist >= 46/108>15/36

Beweis:

Spieler 2 kennt die Strategie von Spieler 1 und nutzt die optimale Gegenstrategie!

(Spieler 1 hat nach seinem zweiten Gebot alle Informationen über seinen Wurf preisgegeben!)

Die optimale Gegenstrategie von Spieler 2 ist jeweils fett markiert;

z.B. „hat 4: hört 3 : 4 : 5/6“ bedeutet:

Spieler 2 hat eine 4 geworfen; er hört das Gebot „3“ von Spieler 1 und antwortet mit einem Gebot „4“ und gewinnt in diesem Fall mit einer bedingten Wahrscheinlichkeit von „5/6“ . Die alternativen (schlechteren) Strategien sind in den Folgezeilen aufgeführt um zu überprüfen, dass keine besseren Alternativen vorhanden sind

Spieler 2
hat *: hört 3 : 5 : 1

Anzweifeln : 0

4 : 1

5 : 1

* : 5/6

Pasch 1,2 : 1/3

Pasch 3 : 2/3

Pasch 4,5 : 1/6

Pasch * : 1/6

hört 4 : 5 : 1

(Berechnung dito)

hört 5 : * : 5/6

Anzweifeln : 0

* : 5/6

Pasch 1,2 : 1/3

Pasch 3,4 : 1/6

Pasch 5 : 2/3

Pasch * : 1/6

hat 5: hört 3 : 5 : 5/6

Anzweifeln : 1/3

4 : 1/6

5 : 5/6

* : 1/6

Pasch 1,2,3,4 : 0

Pasch 5 : 1/6

Pasch * : 0

hört 4 : 5 :5/6

(Berechnung dito)

hört 5 : Pasch 5 : 2/3

Anzweifeln : 0

* : 1/6

Pasch 1,2,3,4 : 0

Pasch 5 : 2/3

Pasch * : 0

hat 4: hört 3 : 4 : 5/6

Anzweifeln : 1/3

4 : 5/6

5 : 1/6

* : 1/6

Pasch 1,2,3 : 0

Pasch 4 : 1/6

Pasch 5 : 0

Pasch * : 0

hört 4 : Pasch 4 : 2/3

Anzweifeln : 0

5 : 1/6

* : 1/6

Pasch 1,2,3 : 0

Pasch 4 : 2/3

Pasch 5 : 0

Pasch * : 0

hört 5 : Anzweifeln : 1/3

Anzweifeln : 1/3

* : 1/6

Pasch 1,2,3 : 0

Pasch 4 : 1/6

Pasch 5 : 0

Pasch * : 0

hat 3: hört 3 :Pasch 3 : 2/3

Anzweifeln : 0

4 : 1/6

5 : 1/6

* : 1/6

Pasch 1,2 : 0

Pasch 3 : 2/3

Pasch 4,5 : 0

Pasch * : 0

hört 4 :Anzweifeln : 1/3

Anzweifeln : 1/3

5 : 1/6

* : 1/6

Pasch 1,2 : 0

Pasch 3 : 1/6

Pasch 4,5 : 0

Pasch * : 0

hört 5 :Anzweifeln : 1/3

Anzweifeln : 1/3

* : 1/6

Pasch 1,2 : 0

Pasch 3 : 1/6

Pasch 4,5 : 0

Pasch * : 0

hat 2: Anzweifeln : 1/3

hört 3: anzweifeln : 1/3

4 : 1/6

5 : 1/6

* : 1/6

Pasch 1,3,4,5 : 0

Pasch 2 : 1/3

Pasch * : 0

Hört 4: anzweifeln : 1/3

5 : 1/6

* : 1/6

Pasch 1,3,4,5 : 0

Pasch 2 : 1/3

Pasch * : 0

Hört 5: anzweifeln : 1/3

* : 1/6

Pasch 1,3,4,5 : 0

Pasch 2 : 1/3

Pasch * : 0

hat 1: Anzweifeln : 1/3

(Berechnung wie bei 2)

In Summe ergeben sich also folgende Gewinnwahrscheinlichkeiten für Spieler 2:

1/6 * ( 2/3 + 1/3*5/6 + 2/3*5/6 + 1/3*2/3 + 1/3*5/6 + 1/3*2/3 + 1/3*1/3 +

+ 1/3*2/3 + 2/3*1/3 + 1/3 + 1/3)

= 1/6 * 1/18 *(12+5+10+4+5+4+2+4+4+6+6)

= 1/6 * 1/18 * 62 = 62/108

Sp1 = 46/108 > 45/108 = 15/36.

Anbei noch die Matrix der Gewinnwahrscheinlichkeiten für Spieler 2 bei den 36 möglichen Würfelergebnissen (bei der oben fett markierten Strategie von Spieler 1; *1/36)::

Sp1/Sp2	1	2	3	4	5	*	Summe/6
1	1	1	2/3	2/3	2/3	1	5/6
2	1	1	2/3	2/3	2/3	1	5/6
3	0	0	1	1	1	1	4/6
4	0	0	0	1	1	1	3/6
5	0	0	0	0	1	1	1/3
*	0	0	1/3	1/3	1/3	2/3	5/18
Summe/6	1/3	1/3	4/9	11/18	7/9	17/18	62/108

q.e.d.

Die Untersuchung der „Konstant 4 Strategie“ ist damit abgeschlossen –

Die echten, optimalen Minimax-Strategien bei Mikro-Bluff kennen wir aber immer noch nicht ! Die obigen Untersuchungen liefern ein paar Hinweise darauf – vielleicht gibt es die Lösung dann in einem späteren Artikel ?!

Als Abschluss dieses Artikels möchte ich noch die Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeiten von einigen Strategien anfügen, die jeweils in der zweiten Runde generell „Anzweifeln“ !

Strategie A = „Konstant 5“:

Falls 1,2,3,4,5,* gewürfelt , sage 5 an

In Folgerunden immer anzweifeln !

Gewinnwahrscheinlichkeit = 1/3

Berechnung Strategie A:

1) Spieler 2 hört 5:

1a)er hat 1,2,3,4

Zweifeln liefert:

Spieler 2: 2/3 Wahrscheinlichkeit zu gewinnen

Alles andere ist schlechter.

1b) er hat 5

Pasch 5 liefert:

Spieler 2: 1/3

1c) er hat *

Ansage * liefert: 1

In Summe ergibt das:

Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2:

2/3 * 2/3 + 1/6 * 1/3 + 1/6 * 1 =

= 8/18 + 1/18 + 3/18

= 24/36

Strategie A: Spieler 1 hat also nur 12/36 = 1/3 Gewinnwahrscheinlichkeit !

Strategie B (Die modifizierte 4er Strategie; 0<=p<=1)

1,2,3,4,* -> 4

5 -> mit Wkeit p -> 5

mit Wkeit 1-p -> 4

Folgerunden anzweifeln.

Gewinnwahrscheinlichkeit = 10/36 + 3p/36
Berechnung Strategie B:

1)Spieler 2 hört 4

1a)er hat 1,2,3

Anzweifeln liefert: (4-p)/(6-p)

1b) hat 4

Pasch 4 liefert: 2/(6-p)

1c) hat 5

Ansage 5 liefert: 1

1d) hat *

Ansage * liefert: 1

In Summe ergibt Fall 1) also:

Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2:

(6-p)/6 *

( 1/2 * (4-p)/(6-p) +

1/6 * 2/(6-p) +

1/3 * (6-p)/(6-p) )

= 1/6 ( 2 – p/2 + 1/3 + 2 – p/3 )

= 1/6 (13/3 – p*5/6)

= 26/36 – p* 5/36

2) Spieler 2 hört 5

2a) er hat 1,2,3,4

Verloren: 0

2b) er hat 5,*

Ansage Pasch 5 liefert: 1

In Summe ergibt Fall 2) also:

Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2:

p/6 * ( 2/3 * 0 + 1/3 *1)

= p/18

1)+2) zusammen liefern also folgende Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2:

26/36 – P *5/36 + p/18

= 26/36 – p * 3/36

Sp1 minimiert dies mit p=1 zu 23/36 und garantiert sich mindestens 13/36 !!

Die Strategie „Konstant 4“ (entspricht p=0) liefert nur 1 – 26/36 = 10/36 Gewinnwahrscheinlichkeit !

In diesem Sinne ist die Strategie „Konstant 4“ (10/36) schlechter als „Konstant 5“ (12/36).

Aber noch etwas besser ist mit 13/36 die folgende Strategie (p=1):

1,2,3,4,* -> 4

5 -> 5

Folgerunden anzweifeln.

All diese Aussagen gelten natürlich nur, falls in Runde 2 immer angezweifelt wird !!

Strategie C

1 -> Pasch 1

2,3,4,5 -> die Wahrheit sagen

* -> Pasch 5

Folgerunden anzweifeln

Gewinnwahrscheinlichkeit = 13/36

Berechnung Strategie C:

1) Spieler 2 hört 2

hat 1 -> verloren

2 -> Pasch 2, gewinnt

3,4,5,* -> 3,4,5,* gewinnt

Wkeit: 1/6 * 5/6 = 5/36

2) hört 3

Wkeit: 1/6 * 4/6 = 4/36

3) hört 4

Wkeit: 1/6 * 3/6 = 3/36

4) hört 5

Wkeit: 1/6 * 2/6 = 2/36

5) hört Pasch 1

Anzweifeln liefert

Wkeit 1/6 * 2/3 = 1/9

6) hört Pasch 5

hat 1,2,3,4 -> anzweifeln, gewinnt

hat 5 -> verliert

hat * -> Pasch * , gewinnt

Wkeit 1/6 * 5/6 = 5/36

In Summe ergibt das also:

Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2:

1/36 * (5+4+3+2+4+5) = 23/36

Für Spieler 1 bleiben also noch 13/36 !

Dies ist genauso viel, wie die verbesserte „konstant 4“ Strategie !

Mini-Mäxchen und Mikro-Bluff mit 2 Personen

von Günther Rosenbaum

Mäxchen und Bluff(von Richard Borg, FX Schmid, 1993)/Liars Dice(MB, 1974) sind bekannte Würfelspiele. Mäxchen habe ich schon als Jugendlicher gespielt und Bluff/Liar´s Dice ist auch heute an geselligen Spieleabenden immer wieder auf dem Tisch.

In der amerikanischen mathematischen Literatur findet man auch Analysen des Spieles Liar´s Dice – aber Vorsicht – hier ist das bei uns unter dem Namen Mäxchen (oder Meier) bekannte Spiel gemeint. Literatur über Bluff habe ich nicht gefunden.

In unseren Spielrunden kommt immer wieder mal die Diskussion hoch, welches denn nun die beste Strategie im Endspiel bei Bluff wäre und der eine oder andere behauptet dann auch mal inbrünstig, dieses oder jenes Verhalten wäre das optimale!

Den (mathematischen) Beweis schuldig geblieben sind bisher jedoch alle – und auch eine plausible, einfache Strategie hat bisher noch keiner angegeben!

Gerade wegen dieser angeregten Diskussionen stellt sich dem ingefleischten Spielefreak da natürlich die Frage nach einer optimalen Strategie für diese Spiele. Diese ist leider nicht so einfach zu finden – die Theorie bestätigt uns hier allerdings zumindest die Existenz einer solchen (gemischten) optimalen Strategie für 2 Personen.

Daher betrachten wir hier zuerst mal eine vereinfachte Version des Spieles Mäxchen – Mini-Mäxchen für 2 Personen:

Es wird mit einem Würfel gespielt. Spieler 1 würfelt verdeckt, sagt eine Würfelzahl an und behauptet, dass er mindestens diese Zahl gewürfelt hat.

1. a) Spieler 2 kann dieses anzweifeln – in diesem Fall wird aufgedeckt und falls die behauptete Zahl größer als die gewürfelte Zahl ist gewinnt Spieler 2 ansonsten Spieler 1.
2. b) Spieler 2 kann diese Behauptung auch glauben – dann muss er erneut Würfeln und einen höheren Wert behaupten. Spieler 1 kann dann wieder glauben oder anzweifeln, u.s.w.

Dieses Spiel sieht sehr einfach aus – trotzdem ist die optimale Strategie nicht trivial.

Zu beachten ist hierbei, dass das Spiel ja das Zufallselement „Würfel“ beinhaltet – wir können (im Allgemeinen) also keine Strategie angeben mit der wir immer gewinnen. Stattdessen suchen wir eine Strategie, bei welcher wir bei häufiger Wiederholung des Spieles möglichst oft gewinnen!

Zuerst betrachten wir folgende (nicht optimale, aber einfache) Strategie:

Spieler 1: Sagt in der ersten Runde immer die Wahrheit und zweifelt bei einer Folgerunde immer an.

Spieler 2: Glaubt die Behauptung von Spieler 1 immer (außer die 6) und versucht besser zu würfeln.

Analyse:

Was ist die optimale Gegenstrategie für Spieler 2?

Da Spieler 1 immer die Wahrheit sagt, braucht Spieler2&xnbsp; also nie anzuzweifeln; da Spieler 1 in der zweiten Runde immer anzweifelt/aufdeckt, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 2: {Spieler1 sagt 1 und Spieler 2 würfelt 2..6} + {Spieler 1 sagt 2 und Spieler 2 würfelt 3..6} + … = 1/6 * {5/6 + 4/6 + 3/6 + 2/6 + 1/6 + 0} = 15/36 .

Spieler 1 hat also eine Gewinnwahrscheinlichkeit von mindestens 21/36!

Was ist nun die optimale Gegenstrategie für Spieler 1?

Da Spieler 2 ja immer alles glaubt (außer die 6), ist es für Spieler 1 natürlich das Beste, die Chancen für das Nachwürfeln des Spielers 2 zu minimieren – er behauptet also bei 1..5 immer, mindestens eine 5 gewürfelt zu haben. Spieler 2 kann nun mit 1/6 Wahrscheinlichkeit noch eine 6 würfeln und gewinnen. Spieler 1 gewinnt also mit Wahrscheinlichkeit von höchstens 1/6 * (5 * 5/6 +1) = 31/36!

Ergebnis:

Wir sehen, die Strategie von Spieler 2 ist die optimale Gegenstrategie zu Spieler 1 aber nicht umgekehrt! Die beiden Strategien stehen also nicht im gegenseitigen Gleichgewicht zueinander – sie sind also nicht optimal!

Nun zur optimalen Strategie:

Spieler 1 gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 41/60 (=Wert des Spieles).

Strategie Spieler 1:

Wurf 1 -> er behauptet 3 bzw. 4 bzw. 5 mit den Wahrscheinlichkeiten 3/10, 5/10, 2/10.

(d.h. bei 1 lügt er immer!)

Wurf 2 -> er behauptet 2 bzw. 3 mit den Wahrscheinlichkeiten 3/10, 7/10

Wurf 3, 4, 5, 6 -> er sagt die Wahrheit

In der zweiten Runde zweifelt Spieler 1 alles an!

Strategie Spieler 2:

Vorgabe 1 oder 2 -> immer glauben und nachwürfeln

Vorgabe 3 -> mit 1/3 Wahrscheinlichkeit anzweifeln, sonst glauben

Vorgabe 4-> mit 1/2 Wahrscheinlichkeit anzweifeln, sonst glauben

Vorgabe 5 -> mit 3/5 Wahrscheinlichkeit anzweifeln, sonst glauben

Vorgabe 6 -> immer anzweifeln

Falls Spieler 2 glaubt und nachwürfelt, so sagt er dann die nachgewürfelte Zahl an, sofern diese genügend hoch ist. Andernfalls erhöht er das Gebot des Vorgängers um 1.

In einer zweiten Runde zweifelt Spieler 2 alles an!

Beweis:

1) Wir nehmen jetzt an, Spieler 1 nutzt die angegebene Strategie und wir suchen jetzt die optimale Gegenstrategie.

a)Wenn Spieler 2 die 6 hört, dann hat Spieler1 auch die 6 und Spieler 2 verliert beim zweifeln.
b)Spieler 2 hört als Ansage die 5. Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 wirklich die 5 hat ist P(Spieler1 hat 5 | Spieler 1 sagt 5) = P(Spieler 1 hat 5 und sagt 5)/P(Spieler 1 sagt 5) = (1/6 ) / (1/6 + 1/6 * 2/10) = (1/6) / (1/5) = 5/6 Wenn Spieler 2 anzweifelt, so gewinnt er also mit Wahrscheinlichkeit 1/6; glaubt Spieler 2 das Gebot von 5, so kann er noch mit Wahrscheinlichkeit 1/6 eine 6 nachwürfeln und gewinnen. Beide Wahlmöglichkeiten sind für Spieler 2 gleich schlecht – dieses Prinzip der „Indifferenz“ zwischen den sinnvollen Wahlmöglichkeiten ist charakteristisch für optimale Strategien!
c)Spieler 2 hört als Ansage die 4. Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 wirklich die 4 hat ist P(Spieler1 hat 4 | Spieler 1 sagt 4) = P(Spieler 1 hat 4 und sagt 4)/P(Spieler 1 sagt 4) = (1/6) / ( 1/6 + 1/6 * ½) = (1/6) / (1/4) = 2/3 Wenn Spieler 2 anzweifelt, so gewinnt er also mit Wahrscheinlichkeit 1/3; glaubt Spieler 2 das Gebot von 4, so kann er noch mit Wahrscheinlichkeit 1/3 eine 5 oder 6 nachwürfeln und gewinnen – denn Spieler 1 wird auf jeden Fall anzweifeln und ein Bluffen wird also nicht wirken.
d)Spieler 2 hört als Ansage die 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 wirklich die 3 hat ist P(Spieler1 hat 3 | Spieler 1 sagt 3) = P(Spieler 1 hat 3 und sagt 3)/P(Spieler 1 sagt 3) = (1/6) / ( 1/6 + 1/6 * 3/10 + 1/6 * 7/10) = (1/6) / (1/3) = 1/2 Wenn Spieler 2 anzweifelt, so gewinnt er also mit Wahrscheinlichkeit 1/2; glaubt Spieler 2 das Gebot von 3, so kann er noch mit Wahrscheinlichkeit 1/2 eine 4, 5 oder 6 nachwürfeln und gewinnen.
e)Spieler 2 hört als Ansage die 2. Spieler 1 sagt also die Wahrheit, Spieler 2 glaubt und würfelt mit Wahrscheinlichkeit 2/3 etwas Besseres.
f)Die Ansage 1 wird von Spieler 1 nie angesagt.
g)Was ist nun die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 1 bei optimaler Gegenstrategie von Spieler 2? Hört Spieler 2 eine Ansage von 3 bis 6 von Spieler 1, so können wir annehmen, dass Spieler 2 anzweifelt, da er ja gleich hohe Gewinnwahrscheinlichkeiten beim Zweifeln und Glauben hat. Spieler 1 gewinnt also, wenn er 3 .. 6 sagt und nicht gelogen hat. Dies ist genau dann der Fall, wenn er 3, 4, 5 oder 6 gewürfelt hat (Wahrscheinlichkeit 2/3). Zusätzlich ist noch der Fall zu betrachten, dass Spieler 1 eine 2 würfelt (1/6) und auch eine 2 ansagt (3/10) und dann noch Spieler 2 nichts besseres würfelt (1/3). Also ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 1 mindestens = 2/3 + 1/6 * 3/10 * 1/3 = 2/3 + 1/60 = 41/60 !!

2) Als zweites nehmen wir jetzt an, Spieler 2 nutzt die angegebene Strategie und wir suchen jetzt die optimale Gegenstrategie von Spieler 1. (D.h. wir suchen die maximale Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 1.)

a)Nehmen wir an, Spieler 1 wirft eine 1 oder 2. Blufft er und sagt eine 3, 4 oder 5 an, so gewinnt er, wenn Spieler 2 dies glaubt und nichts besseres würfelt, also mit Wahrscheinlichkeiten (bei 3): 2/3 * ½ = 1/3 (bei 4): ½ * 2/3 = 1/3 (bei 5): 2/5 * 5/6 = 1/3 Bei einer Ansage von 6 würde er sofort verlieren und auch eine Ansage von 1 ist mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/6 für Spieler 1 nicht sinnvoll. Was geschieht jetzt noch bei einer Ansage von 2? Spieler 2 glaubt diese und würfelt nach – womit Spieler 1 wiederum mit Wahrscheinlichkeit 1/3 gewinnt. Auch hier ist also wieder das Prinzip der Indifferenz zu beobachten! Spieler 1 gewinnt hierbei also bestenfalls mit Wahrscheinlichkeit 1/3.

b)Nehmen wir an, Spieler 1 wirft eine 3. – Würde er mit einer 1 oder 2 bluffen, so gewinnt er nur mit 1/6 oder 1/3 Wahrscheinlichkeit. – Sagt er die Wahrheit – also die 3 – an, so gewinnt er, falls Spieler 2 anzweifelt oder wenn Spieler 2 glaubt und nichts Besseres würfelt. Er gewinnt also mit Wahrscheinlichkeit 1/3 + 2/3 * ½ = 2/3. – Blufft er mit 4, so gewinnt er nur, wenn Spieler 2 dieses glaubt und nichts besseres würfelt; also mit Wahrscheinlichkeit ½ * 2/3 = 1/3 – Blufft er mit 5 so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit 2/5 * 5/6 = 1/3 – Blufft er mit 6, so verliert er immer. Also: Die beste Strategie ist hier, die Wahrheit zu sagen mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit 2/3!!

c)Nehmen wir an, Spieler 1 wirft eine 4. Wie unter b) sieht man wieder, dass man auch jetzt am besten die Wahrheit sagt mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von ½ + ½ * 2/3 = 5/6

d)Nehmen wir an, Spieler 1 wirft eine 5. Wie unter b) sieht man wieder, dass man auch jetzt am besten die Wahrheit sagt mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit von 3/5 + 2/5 * 5/6 = 14/15

e)Wirft Spieler1 eine 6, so gewinnt er sicher wenn er diese auch ansagt.

f)Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann Spieler 1 also höchstens gewinnen bei der vorgegebenen Strategie von Spieler 2? Wie oben berechnet erhalten wir 1/6 * ( 1/3 + 1/3 + 2/3 + 5/6 + 14/15 + 1) = 1/6 * (10/30 + 10/30 + 20/30 + 25/30 + 28/30 + 30/30) = 1/6 * (123/30) = 123/180 = 41/60

3) Die beiden beschriebenen Strategien für Spieler 1 und 2 sind also optimal im Sinne des Minimax Theorems der Spieltheorie und der Spielwert des Spieles beträgt 41/60. Spieler 1 gewinnt also bei Anwendung der vorgegebenen Strategie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 41/60 und Spieler 2 verliert höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von 41/60 bei Anwendung seiner optimalen Strategie!

Nachdem wir oben gesehen haben, dass selbst das sehr einfache Minimäxchen schon eine komplizierte optimale Strategie besitzt, betrachten wir nun das Spiel Bluff/Liar´s Dice und versuchen uns der optimalen Strategie des Endspieles bei Bluff (2 Personen mit je einem Würfel) langsam zu nähern…

Daher betrachten wir hier zuerst mal eine vereinfachte Version des Spieles Bluff –

Micro-Bluff/Micro Liars Dice für 2 Personen:

Es wird mit je&xnbsp; einem Würfel pro Spieler gespielt. Beide Spieler würfeln verdeckt, Spieler 1&xnbsp;&xnbsp; sagt eine Würfelzahl und eine Häufigkeit an&xnbsp; und behauptet, dass beide Spieler gemeinsam diese Zahl in mindestens dieser Häufigkeit gewürfelt haben.

1. a) Spieler 2 kann dieses anzweifeln – in diesem Fall wird aufgedeckt und falls die Behauptung falsch war gewinnt Spieler 2 ansonsten Spieler 1.
2. b) Spieler 2 kann diese Behauptung auch glauben und das Gebot erhöhen – dann muss er(ohne erneutes Würfeln) eine höhere Würfelzahl bei gleicher Häufigkeit oder eine beliebige Würfelzahl mit höherer Häufigkeit behaupten. Spieler 1 kann dann wieder glauben oder anzweifeln, u.s.w.
3. c) Falls auf dem Würfel auch ein Stern vorhanden ist, gilt dieser als höchste Zahl und als Joker für jede andere Zahl. Die Ordnung der Gebote ist dann so, dass direkt vor 2k Einsen das Gebot von k Sternen einzuordnen ist.

Nano Liars Dice (I):

Mit Würfel W6 und den Geboten 1<2<3<4<5<6 , also ohne Pasch und ohne Stern!

Optimale Strategie(für Nano Liars Dice (I)):

Spieler 1 gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 7/12&xnbsp; (=Wert des Spieles).

Strategie Spieler 1:

Spieler 1 sagt immer die gewürfelte Zahl an, also die Wahrheit.

In 2-ter Runde immer anzweifeln!

Strategie Spieler 2:

Ist der eigene Wurf von Spieler 2 höher als die Ansage von Spieler 1,&xnbsp; dann erhöht er auf die gewürfelte Zahl;&xnbsp; ansonsten zweifelt er an.

In 2-ter Runde immer anzweifeln!

Analyse/Beweis:

1a)Wir nehmen jetzt an, Spieler 1 nutzt die angegebene Strategie und wir suchen jetzt die optimale Gegenstrategie. (zu beachten ist hier, dass Spieler 1 ja in der zweiten Runde immer anzweifelt).

1b)Wenn Spieler 2 die 6 hört, dann hat Spieler1 auch die 6 und Spieler 2 verliert beim Zweifeln.

1c)Spieler 2 hört als Ansage ein x mit x=1,2,3,4 oder 5. Spieler 1 sagt immer die Wahrheit und zweifelt in der 2-ten Runde. Anzweifeln macht also keinen Sinn und Bluffen auch nicht. Also gewinnt Spieler 2 genau dann, wenn er besser als die Ansage von Spieler 1 gewürfelt hat und dieses dann ansagt! Bei einer Ansage von x gewinnt Spieler 2 also mit Wahrscheinlichkeit (6-x)/6, wohingegen Spieler 1 mit Wahrscheinlichkeit x/6 gewinnt.

1d)Was ist nun die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler 1 bei optimaler Gegenstrategie von Spieler 2? (Spieler 2 hört 6&xnbsp; + Spieler 2 hört 5 und verliert + Spieler 2 hört 4 und verliert + ….) P(Spieler 1 gewinnt) = 1/6 * (1 + 5/6 + 4/6 + 3/6 + 2/6 + 1/6) = 21/36 = 7/12 .

2a)Spieler 1 kann hier prinzipiell auch bluffen. Nehmen wir an, Spieler 1 blufft mit einer Ansage y < x , wenn er x gewürfelt hat. => Spieler 2 habe a gewürfelt; nach seiner Strategie gilt: (I)&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp;&xnbsp; a < y&xnbsp; , Spieler 2 zweifelt . Spieler 1 verliert (außer, wenn a = y) (II)&xnbsp;&xnbsp; y < a < x , Spieler 2 glaubt und behauptet a. Spieler 1 erhöht auf x und gewinnt. (III) a > x , Spieler 2 glaubt und behauptet a. Spieler 1 verliert. Hätte Spieler 1 nicht geblufft und gleich x behauptet, so hätte er im Fall (I) immer gewonnen, im Fall (II) genauso gewonnen und im Fall (III) noch bei a = x gewonnen. In allen Fällen wäre er also ohne Bluff („tiefstapeln“) besser gewesen ! Da wir die optimale Gegenstrategie für Spieler 1 suchen, brauchen wir also den Fall, dass wir eine kleinere Zahl ansagen als wir gewürfelt haben, nicht mehr zu betrachten!

2b)Wir nehmen an, Spieler 1 hat x gewürfelt und y > x angesagt. Spieler 2 hat a gewürfelt. Ist a = y (Wahrscheinlichkeit 1/6), so gewinnt Spieler 1. Ist a < y (Wahrscheinlichkeit (y-1)/6 ), so gewinnt Spieler 1, falls er nicht gelogen hat.(Falls er gelogen hat, also y > x, so würde ein Bluff mit y+1 sofort erkannt werden, da Spieler 2 in der zweiten Runde ja immer anzweifelt. Hier benötigen wir Aussage a), denn bei y < x wäre eine Erhöhung auf x möglich). Ist a > y, so gewinnt Spieler 2, da ja Spieler 1 wegen y > x nicht mehr ohne zu bluffen erhöhen kann! Mit P(a | b) = P(a und b) / P(b) erhalten wir also: P(Spieler 1 gewinnt) = = P(Spieler 1 sagt 1) * ( 1/6 ) + + P(Spieler 1 sagt 2) * ( 1/6 + (2-1)/6 *P(Spieler 1 hat 2 | Spieler 1 sagt 2) ) +…+ P(Spieler 1 sagt 6) * (1/6 + (6-1)/6 * P(Spieler 1 hat 6 | Spieler 1 sagt 6) ) = 1/6 * ( P(Spieler 1 sagt 1) + …+ P(Spieler 1 sagt 6) ) + + 1/6 * P(Spieler 1 hat 2 und sagt 2) + 2/6 * P(Spieler 1 hat 3 und sagt 3)+ + … + 5/6 * P(Spieler 1 hat 6 und sagt 6) = 1/6 * ( 1 ) + 1/6 * P(Spieler 1 hat 2 und sagt 2) + + 2/6 * P(Spieler 1 hat 3 und sagt 3) +…+ 5/6 * P(Spieler 1 hat 6 und sagt 6).

Nun ist&xnbsp; P(Spieler 1 hat y und sagt y) < P(Spieler 1 hat y) = 1/6. Damit erhalten wir P(Spieler 1 gewinnt) < < 1/6 + 1/6 * 1/6 + 2/6 * 1/6 + … + 5/6 * 1/6 = 1/36 * (1 +2 +3 + 4 +5 + 6) = 7/12. Die optimale Gegenstrategie von Spieler 1 gewinnt also mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 7/12; wenn Spieler 1 bei einem Wurf von 2 bis 6 immer die Wahrheit sagt, so erreicht er diese 7/12 auch!

3) Die beiden beschriebenen Strategien für Spieler 1 und 2 sind also wieder optimal im Sinne des Minimax Theorems der Spieltheorie und der Spielwert des Spieles beträgt 7/12!

Bemerkung: Der Spielwert des Spieles ist 7/12 und eindeutig; die optimalen Strategien sind im Allgemeinen nicht eindeutig! Z.B. kann Spieler 1 im obigen Beispiel beim Wurf einer 1 auch jeden anderen Wert ansagen; oder auch mit Wahrscheinlichkeiten 0,7 und 0,3 die Werte 3 und 4 ansagen . Seine Gewinnwahrscheinlichkeit bleibt weiterhin 7/12 bei optimalem Gegenspiel von Spieler 2! Spieler 2 kann seine Strategie noch dahingehend verbessern, dass er auf nicht optimales Spiel seines Gegners reagiert – z.B. im Fall, dass er genau die Ansage seines Gegners auch gewürfelt hat (und damit beim Zweifeln automatisch verliert), kann er bluffen, die Ansage erhöhen und hoffen, dass sein Gegner nicht anzweifelt !

Nano Liars Dice (II):

Mit Würfel Wn und den Geboten 1<2< … < n-1 < n , also mit einem n-seitigen Würfel und ohne Pasch und ohne Stern!

Optimale Strategie(für Nano Liars Dice (II)):

Spieler 1 gewinnt mit Wahrscheinlichkeit ½ + 1/(2n) (=Wert des Spieles).

Strategie Spieler 1:

Spieler 1 sagt immer die gewürfelte Zahl an, also die Wahrheit.

In 2-ter Runde immer anzweifeln!

Strategie Spieler 2:

Ist der eigene Wurf von Spieler 2 höher als die Ansage von Spieler 1,&xnbsp; dann erhöht er auf die gewürfelte Zahl; ansonsten zweifelt er an.

In 2-ter Runde immer anzweifeln!

Beweis:

Der Beweis ist identisch zu Nano Liars Dice (I).

Der Spielwert berechnet sich aus

(1/n^{2) *}(n + (n-1) + … + 1) =

= (1/n^{2) *}(n + 1) * (n/2)

= (1/n^{2) *}(n²/2&xnbsp; + n/2)

= ½ + 1/(2n)

Bemerkung:

Würde man noch den „Stern“ zulassen, als höchste Zahl – aber auch als Joker, so ändert sich die Strategie nicht. Würfelt jemand den Stern, so würde man diesen sofort ansagen und gewinnen.

Nano Liars Dice (III):

Mit Würfel W6 und den Geboten 1<2<3<4<5<6<11<22<33<44<55<66, also mit Pasch aber ohne Stern!

Wie ändern sich nun die Strategien der Spieler?

Hier ein paar Vorüberlegungen:

Kann Spieler 1 schon einen Pasch vorhersagen in seiner ersten Runde?

Wenn Spieler 1 eine 1 gewürfelt hat, dann könnte er 11 (Pasch 1) ansagen (und sich damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/6 nach einer geworfenen 1 bewahren) – aber in allen anderen Fällen würde er sich seine Gewinnwahrscheinlichkeit ja auf 1/6 reduzieren!

Das Einführen des Pasches ist also wohl ein Vorteil für Spieler 2.

Allenfalls, wenn Spieler 1 in der ersten Runde „tiefstapelt“, könnte er in der zweiten Runde sinnvoller weise auf einen Pasch erhöhen.

Wie reagiert man, wenn der Gegner einen Pasch angesagt hat?

Wenn die Ansage falsch ist, so kann man ruhig anzweifeln – wenn die Ansage richtig ist, so kann man sowieso nicht mehr erhöhen und damit auch gleich anzweifeln.

Also: Ein vom Gegner angesagter Pasch sollte sofort angezweifelt werden.

Beispiel:

Spieler 1 sagt 6 an.

1. Spieler 2 würfelt a zwischen 1 und 5. Er kann Anzweifeln oder Pasch a ansagen. Will er aber bei Pasch a gewinnen, so müsste Spieler 1 auch ein a<6 gewürfelt haben und hätte somit bei der Ansage von 6 auch gelogen. Damit sollte Spieler 2 also direkt anzweifeln
2. Spieler 2 würfelt auch eine 6. Wenn er Anzweifelt, so hätte er verloren. Also kann er genauso gut gleich Pasch 6 ansagen und gewinnt, falls Spieler 1 nicht gelogen hat.

Korrekturen, Anregungen und insbesondere weiterführende Vermutungen und Lösungen werden gerne entgegengenommen!

Literatur:

Ferguson, Thomas. S.: Game Theory. Class notes for Math 167, Fall 2000

Models for the game of Liar´s dice. Stochastic games and related topics. In honor of Prof. L. S. Shapley, Proc. Workshop, Chicago/IL (USA) 1987, Theory Decis. Libr., Ser. C 7, 15-28 (1991).

The tactics of liar dice. R. Stat. Soc.,Ser.C 38, No.3, 507-516 (1989). [ISSN 0035-9254]

Ponssard, Jean-Pierre; Sorin, Sylvain: Optimal behavior strategies in 0-sum games with almost perfect information. Math. Oper. Res. 7, 14-31 (1982). [ISSN 0364-765X]