Kategorie: Analysen

Dominion: Simulation einiger „Killerstrategien“

Teil 4 – Seaside

von Günther Rosenbaum

Seit dem Hype über „Siedler von Catan“ war es klar: Jedes größere Spiel braucht irgendwann einmal eine Seefahrererweiterung! Auch bei Dominion gibt es daher seit Essen 2009 die „Seaside Erweiterung“; diesmal handelt es sich tatsächlich um eine Erweiterung, denn man benötigt die Punkte- und Geldkarten aus einem der ersten beiden Spiele, um die Erweiterung nutzen zu können.

In diesem 4-ten Teil möchte ich daher einige wenige Karten von Seaside etwas genauer betrachten. Es wird in Seaside ein neuer Aktionskartentyp eingeführt: „Dauer-Karten“, welche ihre Wirksamkeit über mehr als nur einen Zug erstrecken.

Der Taktiker

Zuallererst betrachten wird den Taktiker (Dauer-Karte). Beim Ausspielen des Taktikers(Aktionsphase) muss man alle übrigen Karten abschmeißen; zur Belohnung erhält man zu Beginn des nächsten Zuges : + 5 Karten, + 1 Aktion, + 1 Kauf.

Man kann also gewissermaßen anschließend einen Doppelzug durchführen, bei welchen man 10 Karten auf der Hand hält.

Simulationen mit mehreren Taktikern zeigen, dass der Kauf von nur genau einem Taktiker wohl die besten Ergebnisse erzielt.

Analysieren wir also die Geld-Taktiker(1)-Strategie für 5 und 4 Provinzen im Solospiel nun detailierter:

Diese Strategie ist also etwas besser als die reine Geldstrategie, da man den „Verschnitt“ beim Kaufen von Karten mit dem Taktiker etwas ausgleichen kann. Verbessern kann man diese Strategie noch, indem man gegen Ende des Spieles auch mit dem Taktiker nur noch Siegpunkte kauft.

Da man mit dem Taktiker ja 10 Karten auf der Hand hält, so liegt es vielleicht nahe, ihn mit 2 Schatzkarten zu kombinieren: Hat man 2 Schatzkarten auf der Hand, so muss man sie entsorgen und darf sich dann 4 Goldkarten oben auf den Nachziehstapel legen!

Die Feinanalysen ergeben dann:

Durch die Schatzkarten wird die Taktikerstrategie noch einmal verbessert. Allerdings wird die Varianz der Rundenanzahl jetzt recht hoch, d.h. die Kurve der kummulierten Wahrscheinlichkeiten ist um den Mittelwert herum recht flach!

Manchmal hat man also schon recht früh im Spiel beide Schatzkarten gleichzeitig auf der Hand – dann ist die Strategie recht stark. Allerdings kann man dies hier nicht selbst beeinflussen – man ist auf den Zufall angewiesen!

Lassen wir nun unsere beiden neuen Strategien im 2-Personenspiel gegen unsere bekannten Strategien aus den früheren Artikeln antreten:

So wirklich überzeugend sind beide Strategien nicht; insbesondere die hohe zufällige Komponente bei den Schatzkarten mag den echten Strategen wenig überzeugen!

Im Dominion-Blog wird darauf hingewiesen, dass möglicherweise die Schatzkarten in Kombination mit dem Lagerhaus (+1 Aktion, + 3 Karten, 3 Karten abwerfen) recht stark seien. Ich habe das noch nicht getestet, aber es hört sich ganz gut an. Zu bedenken ist allerdings, dass jede Nutzung des Lagerhauses die Anzahl der Karten auf der Hand um 1 reduziert.

Das Piratenschiff

In Seaside sind insgesamt 5 Angriffskarten enthalten. Eine davon ist das Piratenschiff, welches Geldkarten der Mitspieler entsorgt und gleichzeitig virtuelles Geld im eigenen Piratenschiff sammelt.

Ich variiere nun die Parameter X und Y in einem Solitärspiel, bei dem ich davon ausgehe, dass die Piratenangriffe immer erfolgreich sind; außerdem ignoriere ich hierbei natürlich, dass die Mitspieler durch den Angriff negativ beeinflusst werden.

Man erkennt hier sofort, dass als Geldgrenze(Y) 8 gewählt werden sollte und man 4 bis 5 Piratenschiffe benötigt, um ein im Mittel möglichst kurzes Spiel zu erreichen!

Ich werde nun das Piratenschiff im 2-Personenspiel auch noch gegen einige andere Strategien antreten lassen. Das Ergebnis ist allerdings mit etwas Vorsicht zu genießen, da die anderen Strategien nicht auf den Angriff reagieren können, denn sie wurden ja ohne Berücksichtigung aller Arten von Interaktion definiert! Man beachte aber, dass Piratenangriffe in frühen Phasen häufig auch hilfreich sind, denn sie entsorgen ja zu Spielbeginn Kupfer, welches manchmal sowieso lästig ist!

Das Ergebnis sieht etwas enttäuschend aus!

Nur gegenüber der reinen Geldstrategie ist der Pirat klar überlegen. Zusätzlich scheint sogar die Taktiker(1)-Schatzkarte(2) Strategie vom Piraten am wenigsten gestört zu werden, denn sie ist hier unter den betrachteten Strategien der stärkste Gegner für den Piraten! Allerdings ist der Pirat in etwa gleichstark wie die bisher im 2-Personenspiel starke Kapelle-Labor3 Strategie.

Dass die Angriffsfunktion des Piraten notwendig ist und die reine „Münzsammlung im Piratenschiff“ ohne Entsorgen von gegnerischen Karten zu schwach ist, sieht man in der folgenden Simulation:

Wir modifizieren den Piraten in der Form, dass er keine gegnerische Karte entsorgt, sondern immer beide Karten abwirft (friedlicher Pirat)!

Wie man sieht, ist der friedliche Pirat im 2-Personenspiel im allgemeinen schwächer als der normale Pirat. Zwei Dinge sind allerdings zu beobachten:

Erstens ist Kapelle-Labor3 jetzt wieder sehr stark – sie wurde durch das Entsorgen von Geldkarten wohl sehr stark gestört. Zweitens sieht man den erstaunlichen Effekt, dass TaktikerSchatzkarte2 beim friedlichen Piraten schwächer wird – diese Strategie hatte durch den agressiven Piraten tatsächlich profitiert!

Möglicherweise kann man daraus schließen, dass sich der Taktiker auch ganz gut mit einer Kapelle kombinieren läßt!? Probiert es mal aus!

An diesem Beispiel sieht man also sehr schön, wie sich die Strategien der Mitspieler durch Interaktionskarten sowohl positiv als auch negativ beeinflussen können!

Verlassen wir den friedlichen Piraten nun wieder und betrachten stattdessen einen „fluchenden Piraten“: Der fluchende Pirat entsorgt , wie der friedliche Pirat, im Erfolgsfalle keine gegnerische Karte, sondern schiebt dem Gegner eine Fluchkarte unter (die Kapellen entsorgen natürlich auch Flüche).

Ups!! Der fluchende Pirat ist extrem stark – nur Kapelle-Labor3 kann ihm noch standhalten!

Wir sehen:

Das Piratenschiff aus Seaside ist gut ausgewogen; ohne Angriffsfunktion wäre es wohl etwas zu schwach und bei einer stärkeren Angriffsfunktion, wie dem Fluch, wäre es eigentlich zu stark!

Als Abschluss hier noch eine vergleichende Grafik der Strategien im Solospiel; zu beachten ist, dass die Angriffsfunktion des Piratenschiffs hier nicht berücksichtigt werden kann!

Diese Grafik sollte jedem wieder vor Augen führen, dass alle Aussagen über Strategien hier nur dann gelten, wenn man eine größere Anzahl von Spielen auswertet!

Die Aussage, eine Strategie ist besser als die andere, bedeutet immer nur: Im Laufe von vielen Spielen wird man häufiger mit der einen Strategie gewinnen als mit der anderen. Im Einzelfall kann die langfristig schlechtere Strategie durchaus auch große Siege gegen die bessere Strategie erringen! Die Taktiker-Schatzkarte2 kann manchmal in 14 Runden schon 5 Provinzen besitzen – manchmal hat sie diese nach 24 Runden aber immer noch nicht gesammelt (und irgendjemand anderes hat das Spiel bis dahin schon längst beendet…).

Hiermit endet der vierte Teil meiner Analysen. Ich hoffe, dass sich keine (großen) Fehler eingeschlichen haben und ihr meine Ergebnisse im realen Spiel auch bestätigen könnt.

Die vorgeschlagenen Strategien sind alle recht einfach gehalten; ich habe natürlich verschiedene Modifikationen ausprobiert, allerdings ist nie ausgeschlossen, dass man z.B. das Piratenschiff und auch die anderen Strategien durch geschicktere Anwendung noch verbessern kann. Versucht es mal!

Euch allen wünsche ich weiterhin viel Spaß mit Dominion und allen zukünftigen Erweiterungen!

Günther Rosenbaum, 31.10.09

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Dominion: Simulation einiger „Killerstrategien“

Teil 3 – Intrige

von Günther Rosenbaum

In Teil 1 und Teil 2 dieser Analyse haben wir verschiedene Strategien betrachtet und simuliert, wie viele Runden man braucht um eine vorgegebene Anzahl Provinzen zu erwerben.

Auch für das Basisspiel von Dominion gäbe es noch eine Vielzahl von Karten und Strategien, die man analysieren könnte. In diesem Teil 3 möchte ich allerdings einige Karten aus der ersten Erweiterung „Intrige“ näher betrachten.

Der Verwalter

Zuallererst betrachten wird den Verwalter:

Er ist recht flexibel: Man kann 2 Karten entsorgten oder +2 Geld nehmen oder 2 Karten nachziehen. Je nach Spielsituation kann man also flexibel reagieren!

Der Passus „ist zu erwarten, dass du nach dem Ziehen von 2 Karten insgesamt mindestens 7 Geld hättest“ ist wie folgt zu verstehen:

Man kann sich die Anzahl Karten und das enthaltene Geld innerhalb seines Nachziehstapels in etwa merken. Beim Nachziehen einer Karte erhält man also im Mittel „enthaltenes Geld / Anzahl Karten“ Geld. Zweimal dieser Wert plus der Geldwert auf der Hand muss also mindestens 7 ergeben, damit die obige Bedingung zutrifft.

Ich möchte nun im Solospiel den Parameter X = Anzahl Verwalter variieren und bestimmen, mit wie vielen Verwaltern ein möglichst kurzes Spiel entsteht (bis zum Erreichen von 5 Provinzen).

Das kürzeste Spiel mit 16,3 Runden entsteht beim Kauf von 2 Verwaltern!

Wir erinnern uns, dass die Nur-Geld-Strategie bei 5 Provinzen ca. 19 Runden ben̦tigt Рdamit k̦nnen wir vermuten, dass die Geld-Verwalter(2)-Strategie wohl besser ist.

Analysieren wir die Geld-Verwalter(2)-Strategie für 5 und 4 Provinzen nun detailierter:

Der Handelsposten

Bevor ich nun diese Strategie im 2-Personenspiel betrachte, schauen wir uns noch den Handelsposten an:

„Entsorge 2 Karten aus deiner Hand. Wenn du das machst: Nimm dir ein Silber auf die Hand. Kosten: 5“

Das hört sich auch interessant an; man kann wie bei der Kapelle Karten entsorgen, bekommt aber gleichzeitig als Belohnung noch ein Silber auf die Hand! Allerdings sind die Kosten von 5 recht hoch (damit kann man häufig in den ersten beiden Runden bei einer 3-4 Geldverteilung den Handelsposten nicht kaufen).

Wie beim Verwalter bestimme ich nun die optimale Anzahl von Handelsposten und analysiere die Strategie in der Solovariante!

Das kürzeste Spiel mit 17,6 Runden entsteht beim Kauf von genau einem Handelsposten!

Die Feinanalysen ergeben dann:

Der Handelsposten ist recht teuer: Würde er nur 4 Kosten, so würde man 16,2 Runden erreichen und damit sogar etwas weniger als der Verwalter!

Es ist nun an der Zeit, unsere beiden neuen Strategien im 2-Personenspiel gegen unsere bekannten Strategien aus den früheren Artikeln antreten zu lassen:

Man sieht: Der Handelsposten(1) ist recht schwach Рvermutlich aufgrund der hohen Kosten. M̦glicherweise kann man den Handelsposten aber dann spielen, wenn man in den Er̦ffnungsrunden die 5-2 Geldverteilung hat!

Der Verwalter(2) ist recht stark – nur Kapelle-Labor3 und Schmiede sind etwas besser!

Der Harem

Der Harem zählt sowohl als Geldkarte als auch als Punktekarte. Damit kann man mit dem Harem Punkte erwerben, welche die Kartenhand nicht blockieren, da sie ja im Spiel als „2 Geld“ genutzt werden können. Der Harem kostet genauso viel wie ein Gold – daher stellt sich schnell die Frage, ob man nicht z.B. in der Geldstrategie immer den Kauf eines Goldes durch einen Harem ersetzen sollte?

Tatsächlich ist eine solche Strategie besser als die reine Geldstrategie; besser ist es aber, wenn man das Ganze kombiniert: Erst nachdem man schon 2 Gold gekauft hat, ersetzt man alle folgenden Goldkäufe durch Haremskäufe! Man muss aber leider feststellen, dass diese Strategie nicht so richtig gut ist – sie ist zwar besser, als die reine Geldstrategie, aber weiterhin schlechter als die Schmiede oder die Kapelle!

Zu guter Letzt hier noch ein paar Informationen zu Angriffs- und Verteidigungskarten. Wir betrachten ein Dominion 2-Personenspiel:

1)

• • Spieler 1 spielt Geld-Burggraben1 Strategie
  • Spieler 2 spielt Geld-Hexe1 Strategie
  • Spieler 1 kauft also möglichst früh einen Burggraben zur Verteidigung, Spieler 2 eine Hexe zum Angriff; ansonsten verfolgen beide die Geldstrategie und nutzen ihre Aktionen!

Ergebnis: In ca. 73% der Spiele gewinnt die Hexe! (Der Burggraben kann zu selten verteidigen; die Flüche können ihre Wirkung entfalten, trotz der hohen Kosten(5) der Hexe)

2)

• • Spieler 1 spielt Geld-Kapelle Strategie (wie in Strategieanalyse )
  • Spieler 2 spielt Geld-Burggraben1 Strategie (wie oben)

Ergebnis: In ca. 52% der Spiele gewinnt die Kapelle (ca. 8% unentschieden)! (Gegen die Schmiede(+3 Karten) hat die Kapelle keine Chance; für den Burggraben(+2 Karten) reicht es gerade!)

3)

• • Spieler 1 spielt Geld-Kapelle Strategie (wie in Strategieanalyse + Entsorgen von Flüchen)
  • Spieler 2 spielt Geld-Hexe1 Strategie (wie oben)

Kann die Kapelle durch das Entsorgen von Flüchen die Hexe neutralisieren?

Ergebnis: In ca. 67% der Spiele gewinnt die Hexe (ca. 3% unentschieden)! (Gegen die „+2 Karten“ gewinnt die Kapelle noch mit 52%; kommt bei der Hexe noch die „Flucheigenschaft“ hinzu, verliert die Kapelle, obwohl sie Flüche entsorgen kann)

4)

Ich hatte im letzten Artikel gefragt, ob nicht doch der Kauf einer Schmiede besser ist, als die teure Hexe. Das muss ich jetzt verneinen – die Hexe gewinnt in 68% der Spiele gegen die Schmiede!

Hiermit ist der dritte Teil meiner Analysen beendet. Wie so häufig wirft jede Antwort über die Güte einer Strategie wieder mehrere neue Fragen auf. Ob in der Zukunft an dieser Stelle weitere Dominion Strategiefragen beantwortet werden, kann ich noch nicht sagen – schaun mer mal!

Euch allen wünsche ich weiterhin viel Spaß mit Dominion und allen zukünftigen Erweiterungen!

Weitergehenden Lesestoff gibt es auch im Dominionblog.

Günther Rosenbaum, 17.10.09

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Dominion: Simulation einiger „Killerstrategien“

Teil 2

von Günther Rosenbaum

In Teil 1 dieser Analyse haben wir verschiedene Strategien als „Solitärspiel“ betrachtet und simuliert, wie viele Runden man braucht um eine vorgegebene Anzahl Provinzen zu erwerben.

Zwei der Strategien aus dem Teil1 möchte ich noch aufgrund einiger Leserkommentare leicht modifizieren, da sie hierdurch nochmal ein gutes Stück verbessert werden können:

Nun könnte man natürlich weitere Strategien definieren und analysieren oder die Auswirkungen von Angriffs- und Verteidigungskarten auf das Solitärspiel berechnen. Zuerst wollen wir uns aber wie angekündigt um das Mehrpersonenspiel mit diesen 6 Strategien kümmern (dabei benutzen wir jetzt immer, ohne dies jeweils noch einmal zu erwähnen, die beiden modifizierten Strategien). Beginnen wir als wichtigstes mit dem 2-Personenspiel (ja, dies ist natürlich wieder ein endliches 2-Personen Nullsummenspiel und die Existenz einer optimalen Strategie ist damit garantiert).

Hier nochmal im Ãœberblick die diskutierten(und modifizierten) Strategien:

2) Das 2-Personenspiel!

Als erstes müssen wir unsere Messmethoden „eichen“ und schauen was passiert, wenn beide Spieler die Nur-Geld-Strategie nutzen:

Spieler1 gewinnt: 26,04% (Spieler 1 ist immer der Startspieler) Spieler2 gewinnt: 42,08% Gleichstand zwischen Platz 1 und 2: 31,88% Spielende mit Spieler x: 50,54% 49,46% Kartenanzahl von Spieler x: 27,46 26,96 Endpunktzahl von Spieler x: 27,73 26,27

Wir benutzen hier die original Regeln für das Spielende:

• • Sofortiges Spielende bei Verkauf der 8-ten Provinz

und die Tiebreaker-Regel:

• • Beendet Spieler1 das Spiel und haben beide Spieler gleich viele Siegpunkte, so gewinnt Spieler2.
  • Beendet Spieler2 mit gleichviel Punkten wie Spieler1das Spiel, so gibt es ein Unentschieden!

In der obigen Simulation fällt auf, dass es sehr viele Unentschieden gibt, und dass erstaunlicherweise Spieler2 16% mehr Spiele gewinnt als sein Konkurrent!?

Ihr ahnt schon woran das liegt?

Ändern wir die Regeln für das Spielende und spielen die letzte Runde noch zu Ende, so dass jeder Spieler gleich häufig dran war. Wir geben dem Spieler2 sogar noch die Möglichkeit, eine 9-te Provinz zu kaufen (Spielende ist, wenn am Rundenende 8 oder mehr Provinzen verkauft wurden).

Spieler1 gewinnt: 25,97% Spieler2 gewinnt: 26,25% Gleichstand zwischen Platz 1 und 2: 47,78% Spielende mit Spieler x: 00,00% 100,00% Kartenanzahl von Spieler x: 27,46 27,45 Endpunktzahl von Spieler x: 27,71 27,73

Jetzt gewinnen Spieler1 und Spieler2 in etwa gleichhäufig und die Anzahl der Unentschieden ist noch einmal um 16% auf fast 50% gestiegen!?

Des Rätsels Lösung: Die 16% waren Spiele, die Spieler1 mit gleich vielen Punkten wie Spieler2 beendet hat und wegen der Tiebreaker-Regel wurde Spieler2 zum Sieger erklärt. Lässt man aber Spieler2 – wie in der 2-ten Simulation – die letzte Runde noch beenden, so kann er fast nie eine weitere (teure) Provinz kaufen und es kommt zum Unentschieden!

Warum gibt es eine so hohe Zahl von Unentschieden?

Nun, wir kaufen in unseren Strategien derzeit nur die effektiven Provinzen als Siegpunkte – Herzogtümer und Anwesen bleiben außen vor. In einem Mehrpersonenspiel beim Kampf um die meisten Siegpunkte müssen wir aber kurz vor Spielende (z.B. wenn wir vermutlich unseren Nachziehstapel nicht mehr aufbrauchen werden) unsere Strategie ändern und nur noch Siegpunkte kaufen – auch wenn es nur noch Anwesen sind. Insbesondere können wir dadurch ein drohendes Unentschieden noch in einem eigenen Sieg umwandeln.

Daher ändern wir alle unsere Strategien folgendermaßen: Wenn ein Spieler 4 Provinzen besitzt, so kauft er ab sofort nur noch Siegpunkte!

Eine Simulation mit original Spielenderegel liefert nun:

Spieler1 gewinnt: 41,86% Spieler2 gewinnt: 41,94% Gleichstand zwischen Platz 1 und 2: 16,20% Spielende mit Spieler x: 50,04% 49,96% Kartenanzahl von Spieler x: 27,49 26,99 Endpunktzahl von Spieler x: 28,91 27,04

Spielen wir wieder die letzte Runde zu Ende, so erhalten wir:

Spieler1 gewinnt: 41,83% Spieler2 gewinnt: 41,79% Gleichstand zwischen Platz 1 und 2: 16,38% Spielende mit Spieler x: 00,00% 100,00% Kartenanzahl von Spieler x: 27,48 27,48 Endpunktzahl von Spieler x: 28,90 28,90

In beiden Fällen gewinnen nun Spieler1 und Spieler2 in etwa gleich häufig; außerdem hat sich die Häufigkeit der Unentschieden drastisch verringert!

Für alle folgenden Simulationen werden wir immer mit diesen im Endspiel verbesserten Strategien arbeiten und, um jeglichen möglichen Startspielervorteil auszuschließen, das Spielende immer erst am Rundenende überprüfen (womit auch das Kaufen einer 9-ten Provinz ermöglicht wird).

Wir werden nun die 6 Strategien Nur Geld, Schmiede, Kapelle, Kapelle-Labor3, Jahrm1-Schmiede2, Jahrm4-Schmiede3 in einem 2-Personenspiel paarweise gegeneinander antreten lassen und jede Paarung eine halbe Millionen mal simulieren.

Als erstes lassen wir die Nur-Geld-Strategie gegen alle 6 Gegner antreten und erhalten folgendes Ergebnis:

Dieses Bild ist nun folgendermaßen zu interpretieren:

Die Nur-Geld-Strategie tritt als Startspieler nacheinander gegen alle 6 Strategien (Spieler 2) an – natürlich auch gegen sich selbst. Die breiten grün/gelb/roten Balken geben die Wahrscheinlichkeit des Startspielers(= Nur-Geld-Strategie) für einen Gewinn(grün), ein Unentschieden(gelb) oder einen Verlust(rot) an. Die schmalen Balken beziehen sich auf die rechte, sekundäre Vertikalachse und bedeuten: mittlere Anzahl Runden bis Spielende(hellgrün), mittlere Anzahl Siegpunkte des Startspielers(blau) und mittlere Anzahl Karten des Startspielers bei Spielende(orange).

Die Jahrm4-Schmiede3 Strategie ist im 2-Personenspiel in etwa gleich gut wie die Nur-Geld Strategie; alle anderen Spielweisen sind besser!

Dies haben wir auch schon bei der Analyse als Solitärspiel vermutet.

Wir sehen aber auch, dass selbst gegen die Kapelle-Labor3 Strategie noch eine Chance von fast 20% für einen Gewinn oder ein Unentschieden besteht!

Die Strategien variieren also aufgrund der verschiedenen Kartenverteilungen im gemischten Nachziehstapel sehr stark, was beim Solitärspiel auch durch die variierende Rundenzahl bei Spielende deutlich wurde.

Schauen wir uns die nächste Strategie an:

Nur die Kapelle-Labor3 Strategie ist geringfügig besser – alle anderen müssen sich geschlagen geben! Die Punkte

bei Spielende sind teilweise über 30, d.h. es wurden wohl 5 Provinzen gekauft.

Die Kapellenstrategie liegt im Mittelfeld – sie schlägt Nur-Geld und Jahrm4-Schmiede3, der Rest ist aber besser.

Kommen wir nun zum Etappensieger:

Die Kapelle-Labor3 Strategie ist besser als alle anderen! Sie hat bei Spielende im Mittel ca. 14 Karten, davon ca. 5 Geldkarten.

Ich behaupte hiermit natürlich NICHT, dass dies die beste Strategie (OHNE Interaktion) ist, denn dies habe ich an keiner Stelle nachgewiesen. Ich vergleiche hier nur 6 Strategien relativ zueinander – nicht mehr und nicht weniger. Unter diesen Strategien und unter den vorgegebenen Simulationsbedingungen ist die Kapelle-Labor3 Strategie die beste.

Aber betrachten wir auch noch die beiden weiteren Spielweisen.

Betrachten wir nun noch einmal die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller Strategien im Überblick, berechnen den Durchschnitt für jede Strategie und sortieren nach diesem Wert:

Wir erhalten also folgende Rangfolge im 2-Personenspiel (in Klammern die Rundenzahl als Solitärspiel):

1. 1. Kapelle-Labor3 (15,52 Runden)
   2. Schmiede (17,33 Runden)
   3. Jahrmarkt1-Schmiede2 (17,93 Runden)
   4. Kapelle (16,99 Runden)
   5. Jahrmarkt4-Schmiede3 (19,2 Runden)
   6. Nur-Geld (19,12 Runden)

Die Nur-Geld-Strategie hat sich also nicht wirklich als Killerstrategie herausgestellt!

Mit Ausnahme der Kapellenstrategie entspricht hier die Reihenfolge in etwa der vermuteten Reihenfolge anhand der mittleren Rundenanzahl als Solitärspiel.

Worin liegt das Problem der Kapellenstrategie? Sie entsorgt zu Beginn auch die 1er Siegpunkte, die ihr dann am Ende fehlen! Obwohl sie etwas früher die vierte Provinz kaufen kann, genügt dies nicht, um diesen Rückstand wieder aufzuholen!

Entsorgt man aber die 1er Siegpunkte mit der Kapelle nicht, so kann man diese Kapellenstrategie getrost vergessen – sie ist dann ziemlich schlecht.

Auch im 2-Personenspiel gilt wie im Solitärspiel weiterhin

• • Schmiede-Strategie: kaufe genau eine Schmiede; eine zweite verschlechtert das Ergebnis.
  • Kapelle-Labor3-Strategie: kaufe genau 3 Laboratorien; mehr oder weniger Laboratorien verschlechtern das Ergebnis.

3) Das 4-Personenspiel !

Das 4-Personenspiel ist noch kürzer als das 2-Personenspiel, da nur mit 12 Provinzen gespielt wird und damit jeder Spieler im Mittel nur 3 Provinzen bis Spielende benötigt.

Es könnte daher sein, dass einige Strategien etwas anders zu bewerten sind, da sie ein etwas längeres Spiel benötigen, um sich zu entfalten. Möglicherweise sind hier wieder die besonders minimalistischen Strategien im Vorteil? Oder ändert sich doch nichts im Vergleich zum 2-Personenspiel?

Um dies zu untersuchen, werden wir die oben beschriebenen Strategien unter gleichen Randbedingungen (z.B. Runde immer zu Ende spielen) wieder paarweise gegeneinander antreten lassen: Jeweils 2 Spieler benutzen die erste und zweite Strategie. Da es ein Unentschieden jetzt nicht mehr nur für ersten und zweiten Platz gibt, werden wir diese jetzt etwas anders behandeln: Teilen sich z.B. 3 Spieler den ersten Platz, so bekommt jeder von ihnen ein Drittel Sieg zugeschrieben. In den Grafiken entfällt daher auch die „gelbe“ Zahlenreihe.

Schauen wir uns mal das Ergebnis der Kapelle-Labor3 Strategie an:

Tatsächlich, Kapelle-Labor3 scheint jetzt schlechter zu sein – die Schmiede ist eindeutig besser und Jahrm1-Schmiede2 ist gleich gut!

Es sieht also so aus, als ob die Schmiede jetzt die beste der betrachteten Strategien ist:

Die Schmiede gewinnt im 4-Personenspiel in 2/3 oder mehr Fällen gegen alle anderen Strategien!

Die Spiele sind etwa 2 Runden kürzer als mit 2 Personen; aufgrund ihrer höheren Anzahl an Aktionskarten (jeder Kauf einer Aktionskarte kostet ja eine Runde und muss sich erst später amortisieren) entfaltet die Kapelle-Labor3 Strategie ihre Kraft erst etwas später, dann aber um so heftiger!

Wir machen daher eine Gegenprobe und erhöhen die Anzahl an Provinzen im 4-Personenspiel auf 16 und schauen uns die Auswertung der Schmiede Strategie nochmal an:

Jetzt sind die alten Verhältnisse in etwa wieder hergestellt – Kapelle-Labor3 ist geringfügig besser als die Schmiede!

Ändert man die Anzahl der Laboratorien in der Kapelle-LaborX Strategie, so erhält man bei 2 Laboratorien etwa gleich gute Ergebnisse, ansonsten immer schlechtere Resultate.

Im Solitärspiel haben wir die JahrmX-SchmiedeY betrachtet und berechnet, wie sich die Ergebnisse ändern, wenn man die Anzahl der Jahrmärkte und Schmieden variiert. Das möchte ich hier im 4-Personenspiel auch nochmal wiederholen und lasse JahrmX-SchmiedeY gegen die Schmiede spielen:

Es ergibt sich wieder ein sehr ähnliches Ergebnis: Nur eine Schmiede allein ist wieder die beste Strategie!

Wie im 2-Personenspiel betrachten wir nun noch einmal die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller Strategien im Überblick, berechnen den Durchschnitt für jede Strategie und sortieren nach diesem Wert:

Es hat sich nur wenig geändert: Schmiede und Kapelle-Labor3 haben ihren Platz gewechselt, alles andere ist gleich geblieben!

Mit Ausnahme der 4 unterstrichenen Werte in der obigen Tabelle sieht man auch noch eine gewisse Regelmäßigkeit: Eine Strategie, die im Mittel besser ist als eine andere, ist auch in jeder einzelnen paarweisen Kombination besser als die andere!

Beispiel: Jeder einzelne Werte in der Zeile „Kapelle“ ist größer als der darunterliegende Wert in der Zeile „Jahrm4-Schmiede3“.

Wir erhalten also folgende Rangfolge im 4-Personenspiel (in Klammern die Rundenzahl als Solitärspiel mit 5 Provinzen):

1. 1. Schmiede (17,33 Runden)
   2. Kapelle-Labor3 (15,52 Runden)
   3. Jahrmarkt1-Schmiede2 (17,93 Runden)
   4. Kapelle (16,99 Runden)
   5. Jahrmarkt4-Schmiede3 (19,2 Runden)
   6. Nur-Geld (19,12 Runden)

Zum Abschluss werde ich jetzt noch 4-Personenspiele betrachten, bei denen jeder Spieler eine andere Strategie verfolgt; wir erwarten natürlich, dass sich die obige Rangfolge auch hier bestätigt:

Kapelle-Labor3 kann sich gut gegen Jahrm4-Schmiede3 und Nur-Geld durchsetzen, hat aber Schwierigkeiten mit der Schmiede – daher belegt diese Strategie einen hohen Anteil von 2-ten Plätzen.

Die oben angegebene Rangfolge der Strategien bestätigt sich also auch bei diesen Simulationen!

Damit sind wir vorerst ans Ende unserer Analysen angelangt.

Ich möchte nochmal darauf hinweisen, dass die betrachteten Strategien nur einige Beispiele von in Spielerkreisen häufig erwähnten Spielweisen sind. Es wird an keiner Stelle behauptet, dass diese optimal sind oder es keine besseren gäbe.

Eine ganz wesentliche Vereinfachung der Analysen bestand darin, die Auswirkung von Angriffskarten und Interaktion ganz wegzulassen; in einem Spiel mit vielen Angriffskarten müssen die Strategien sicherlich angepasst werden.

Der Käufer einer Angriffskarte wird sich (gerade im Mehrpersonenspiel)aber immer fragen müssen, ob der Kauf von z.B. einer Hexe(+2 Karten) wirklich sinnvoller ist als der Kauf einer Schmiede(+3 Karten) ! Diese Frage werden wir ihm hier noch nicht beantworten …

Viel Spaß mit Dominion und allen kommenden Erweiterungen,

Günther Rosenbaum, 15.2.09

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Dominion: Simulation einiger „Killerstrategien“

von Günther Rosenbaum

Mittlerweile begeistert Dominion schon viele Spieler (mich auch) – und wie immer in so einem Fall, gibt es auch schon viele Analysen, Strategien, Vorschläge für Killerstrategien und unbewiesene Behauptungen über gute und schlechte Strategien im Internet.

Dies hat mich dazu angeregt, mittels „Monte Carlo Methoden“ einige objektive Zahlen zur Diskussion beizusteuern (solche Ansätze gibt es hier und da auch schon an anderer Stelle im Internet, z.B. auf http://www.boardgamegeek.com/boardgame/36218 oder http://das-spielen.de/index.php/category/spiele/strategie-und-taktik/): Mittels eines kleinen Java-Simulationsprogrammes werden einige Strategien 1.000.000 mal auf dem PC simuliert und statistische Aussagen hieraus abgeleitet!

Teil 1: Betrachtung der Strategien als Solitärspiel!

Ãœber die Menge der Interaktionsmöglichkeiten in Dominion wurde schon viel gestritten und einige Spieler finden diese sogar zu gering. An dieser Stelle soll daher auf Interaktionen gänzlich verzichtet werden (d.h. ohne Angriffskarten) und stattdessen versucht werden, möglichst schnell eine vorgegebene Anzahl Provinzen (=6 Punkte) zu kaufen! Dieses kann dann zur Bewertung der Strategien in einem Mehrpersonenspiel dienen, denn auch hier ist es ganz wichtig, das Timing zu beachten: Es gilt bei Spielende, z.B. Verkauf aller Provinzen, die meisten Siegpunkte zu besitzen – das Potential eines „Killerdecks“ in späteren Phasen ist dann unerheblich.

Außerdem ist die Anzahl der zusätzlichen Siegpunkte beschränkt (Ausnahme „Gärten“): 12*(6+3+1) = 120. Sich frühzeitig einen gehörigen Anteil dieser Punkte zu sichern ist also ein wesentlicher Teil einer jeden guten Strategie!

Betrachten wir zuerst also folgende, häufig im Internet als „Killerstrategie“ bezeichnete „Nur-Geld-Strategie“:

Diese Strategie ohne jegliche Aktionskarten ist sehr einfach und doch schon ziemlich stark! Jede andere Strategie wird sich mit dieser Strategie messen müssen!

Meine Simulation ergibt folgende Ergebnisse:

Das Ergebnis ist folgendermaßen zu interpretieren:

Auf der x-Achse ist die Anzahl Runden aufgeführt, in der die Endebedingung (5 Provinzen) erreicht wurde. Betrachten wir die Runde 20: 76,9% aller Spiele dauerten höchstens 20 Runden; die Endpunktzahl dieser Spiele betrug im Mittel 33,00 Punkte; der Spieler besaß am Spielende im Mittel 29,6 Karten!

Die mittlere Rundenanzahl aller Spiele beträgt 19,12!

Die Anzahl der benötigten Runden, um 5 Provinzen zu erreichen, schwankt zwischen 12 und 29; die meisten Spiele enden aber zwischen 17 und 21 Runden. Da man in einem Mehrpersonenspiel selten mehr als 5 Provinzen besitzen wird, so sollte man bei einem Spiel mit wenig Interaktion wohl nicht von mehr als 20 Runden bis Spielende ausgehen.

Betrachten wir nun die Änderung der Berechnung, wenn wir das Spiel schon nach dem Kauf der 4. Provinz beenden:

Die mittlere Rundenanzahl bis Spielende fällt jetzt auf 16,8 (bei 6 Provinzen steigt sie auf 21,43).

Bei dieser Strategie wird man also gegen Spielende in etwa nur jede zweite Runde in der Lage sein eine Provinz zu kaufen! Die Anzahl der Karten steigt trotzdem pro Runde um etwa 1, da man alternativ ja ein Silber oder Gold kauft.

Bleiben wir aber momentan weiterhin bei beim Spielende mit 5 Provinzen und modifizieren wir unsere Geldstrategie etwas: Sobald wir zum ersten mal in der Lage sind eine Provinz zu kaufen, so verweigern wir dies und kaufen stattdessen doch nur ein Gold! In einigen Strategieanalysen wird behauptet, dass dies die Strategie verbessert:

Dies kann ich hier nicht nachvollziehen – die mittlere Rundenanzahl wird geringfügig schlechter. Also. Wenn man 8 Geld auf der Hand hält, so sollte man dafür auch eine Provinz kaufen!

Nehmen wir nun noch eine Schmiede mit in das Deck, um mehr Karten auf die Hand zu bekommen, die „Geld-Schmiede-Strategie“:

Die mittlere Rundeanzahl ist hier schon deutlich verbessert worden (bei 4 Provinzen: 14,93, bei 6: 19,69). Allerdings ist hier auch nur genau eine Schmiede hilfreich: Nehme ich eine zweite hinzu, so bleibt das Deck in etwa gleich gut, nehme ich eine dritte hinzu, so wird es sichtbar schlechter.

Die nächste Strategie, die ich betrachten möchte, ist die „Geld-Kapelle-Strategie“:

Hier versuchen wir, unsere Handkarten von störenden Karten freizuhalten und sie möglichst früh zu entsorgen:

Die mittlere Rundenanzahl ist um knapp 2 Runden gefallen auf 17,44 ; die meisten Partien laufen 15 bis 19 Runden. Mit dieser Strategie sind wir also im Allgemeinen etwas schneller und damit besser als die Nur-Geld-Strategie! In den schnellen Partien hat man die Kupfer und Anwesen schnell entsorgen können und bei 17 Runden hat man am Ende nur ca. 16 Karten im eigenen Deck.

Beendet man das Spiel bei 4 bzw. 6 Provinzen, so dauert das Spiel im Mittel 15,43 bzw. 19,5 Runden. Also auch hier braucht man für eine Provinz mehr oder weniger jeweils 2 Runden. Als Daumenregel erhält man also in etwa: Anzahl Runden = 7,5 + 2 * Anzahl Provinzen.

Wir wollen das Spiel jetzt noch mehr beschleunigen und nehmen noch einige Laboratorien(+2 Karten, + 1 Aktion) mit in unser Kartendeck. Die optimale Anzahl wurde durch Simulationen bestimmt, die „Geld-Kapelle-Labor-Strategie“:

Hier versuchen wir, unser Deck ähnlich klein zu halten und durch die „+2 Karten“ Aktion des Labors noch mehr Karten auf die Hand zu bekommen; außerdem können wir durch das Labor weitere Aktionen ausführen.

Die mittlere Anzahl Runden ist hier nochmal gefallen auf 16,03!

Zu- oder wegnehmen eines Labors führt zu einer Verschlechterung der Rundenanzahl – somit sind hier 3 Laboratorien optimal. Auch das Entsorgen von Silber bei genügendem Gold hilft nicht mehr und führt zu gleichen Ergebnissen.

Zum Schluss betrachte ich jetzt noch eine Strategie mit massiverem Aktionskarteneinsatz und „virtuellem“ Geld, die „Jahrmarkt-Schmiede-Strategie“:

Wir wollen hier zuerst mit einem Jahrmarkt und 2 Schmieden spielen. Jahrmarkt und Schmieden sollen Kettenreaktionen hervorrufen (wenn noch mehr Aktionskarten genommen werden) und zusätzlich soll virtuelles Geld ins Spiel kommen.

Die Kurve ist flacher und die Anzahl der Runden variiert etwas mehr als im vorherigen Bild.

Wir wollen aber nun schauen was passiert, wenn wir die Anzahl der Jahrmärkte und Schmieden jeweils im Bereich von 0 bis 9 variieren und berechnen für jede Kombination die mittlere Anzahl Runden bis zum Erreichen von 5 Provinzen:

In der obigen Grafik sehen wir, wie sich für eine feste Anzahl von Jahrmärkten (die lila Kurve beschreibt z.B. 3 Jahrmärkte) die mittlere Anzahl von Runden verändert, wenn wir zwischen 0 und 9 Schmieden ins Deck mit hinzugeben. Das absolute Minimum dieser Kurvenschar wird bei einer Schmiede und keinem Jahrmarkt erreicht – auch hier sieht man wieder, dass die sehr schnellen Decks mit wenig Aktionskarten auskommen.

Aber auch 4 Schmieden und 5 Jahrmärkte sind in etwas gleich schnell wie das Nur-Geld-Deck! Man kann also auch mit massivem Aktionskarteneinsatz ähnlich schnelle Decks wie mit der Nur-Geld-Strategie aufbauen.

Mit den gleichen Daten – aber mit fester Anzahl von Schmieden und variabler Anzahl von Jahrmärkten – erhält man folgendes Diagramm:

Zur Veranschaulichung betrachten wir hier den exemplarisches Ablauf eines 19-Runden Spieles mit 4 Schmieden und 5 Jahrmärkten:

(„Kauf: nix“ bedeutet: es ist eine Kaufaktion verfügbar, es wird aber nichts gekauft)

Runde 1 – Kauf: Schmiede

Runde 2 – Kauf: Silber

Runde 3 – Kauf: Jahrmarkt

Runde 4 – Kauf: Schmiede

Runde 5 – Kauf: Schmiede

Runde 6 – Kauf: Jahrmarkt

Runde 7 – Kauf: Jahrmarkt

Runde 7 – Kauf: nix

Runde 8 – Kauf: Provinz

Runde 8 – Kauf: nix

Runde 9 – Kauf: Silber

Runde 10 – Kauf: Jahrmarkt

Runde 10 – Kauf: nix

Runde 10 – Kauf: nix

Runde 11 – Kauf: Schmiede

Runde 12 – Kauf: Jahrmarkt

Runde 13 – Kauf: Gold

Runde 13 – Kauf: nix

Runde 14 – Kauf: Provinz

Runde 14 – Kauf: Gold

Runde 15 – Kauf: Provinz

Runde 15 – Kauf: nix

Runde 16 – Kauf: Provinz

Runde 16 – Kauf: Silber

Runde 16 – Kauf: nix

Runde 17 – Kauf: nix

Runde 18 – Kauf: Gold

Runde 19 – Kauf: Provinz

Runde 19 – Kauf: Silber

Zusammenfassung

Betrachten wir nun noch einmal alle oben diskutierten Strategien im Ãœberblick:

Es tritt hier besonders die Strategie mit „einer Kapelle und 3 Laboratorien“ hervor – sie ist sehr schnell und variiert in der Anzahl der Runden nicht so stark. Die Unterschiede der anderen Strategien sind zwar gut erkennbar, jedoch überschneiden sie sich sehr stark.

Genügen diese Unterschiede, um z.B. in einem Zweipersonenspiel signifikante Vorteile der Kapellenstrategie gegenüber der Nur-Geld Strategie zu erkennen? Diese Frage werden wir im zweiten Teil der Analyse beantworten; dort werden wir Mehrpersonenspiele betrachten, die beendet werden, wenn der Stapel der Provinzen leergekauft wurde.

gehe zu Teil 2

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„Can’t Stop!“ ist ein alter Spieleklassiker von Sid Sackson, der immer wieder in neuen Auflagen auf den Markt  gebracht wird. Das Grundprinzip des Spieles wird von vielen anderen Spielen genutzt, so auch vom Würfelspiel „Pig“, das in etwas abgewandelter Form mehrfach bei „Schlag den Raab“ gespielt wurde.

Was ist das Spielprinzip?

Ein Spieler kann während seines Zuges eine zufallsbedingte Aktion „beliebig“ oft durchführen oder seinen Zug beenden und seinen Status absichern. Führt man eine Aktion durch, so hat sie als Ergebnis entweder eine Verbesserung der Spielposition zur Folge oder  die Beendigung des Zuges mit Verlust aller in diesem Zug erworbenen Vorteile.

Betrachten wir hier das Beispiel aus der Fernsehsendung „Schlag den Raab“:

Das Ziel dieses 2-Personenspieles ist es, als erster 50 Punkte zu erreichen.

Ein  Zug jedes Spielers besteht aus dem mehrmaligen  Würfeln eines normalen 6-seitigen Würfels. Beide Spieler wechseln sich nacheinander ab, bis einer mit 50 Punkten das Spiel gewinnt.

Während des Zuges eines Spielers hat dieser nach dem Würfelwurf immer 2 Möglichkeiten: Beenden des Zuges oder noch einmal Würfeln – mit diesen Ergebnismöglichkeiten:

1)      Der Spieler hat eine 6 gewürfelt: der Zug ist sofort beendet und der Gegner ist am Zug. Die gesamte Zwischensumme dieses Zuges ist verloren!

2)      Der Spieler hat 1..5 gewürfelt: Der Wurf  wird zur Zwischensumme dieses Zuges addiert. Der Spieler hat das Recht, noch einmal zu würfeln.

3)      Falls der Spieler aber nicht noch einmal würfeln sondern seinen Zug beenden will, so wird die Zwischensumme dieses Zuges zu seinen iegpunkten hinzugezählt und der Gegner ist am Zug. Diese Siegpunkte können jetzt nicht mehr verloren gehen!

Bei dieser Art von Spiel steht man also ständig vor dem „Can’t Stop!“ Dilemma: Soll ich jetzt meinen Zug abbrechen und mein bisheriges Ergebnis absichern, oder soll ich doch noch ein oder zwei weitere Würfelwürfe riskieren??

Ich möchte in diesem Artikel die Vorgehensweise für die Entwicklung einer optimalen Strategie für den „Can´t Stop! Effekt“ darlegen:

Wir werden diese Strategie weiter unten entwickeln und erkennen müssen, dass die exakte, optimale Strategie manchmal recht umfangreich und komplex sein kann. Hat man allerdings die exakte Strategie, so kann man daraus dann eine verbesserte Faustregel ableiten!

Daher wollen wir als erstes eine ganz einfache und nachvollziehbare Faustregel für das oben beschriebene Würfelspiel entwickeln.

Fakten:

– ich kann pro Wurf im Mittel 3 Punkte gewinnen ( = (1+2+3+4+5) / 5 )

– ich riskiere bei jedem Wurf meine aktuelle Zwischensumme

– meine Gewinnchancen stehen 5:1

Bei einer Wette mit Gewinnchancen von 5:1 kann ich also bis zu  15 Punkte einsetzen um im Mittel jeweils 3 Punkte zusätzlich zu gewinnen!!

Die einfache Faustregel heißt also:

Falls deine Zwischensumme weniger als 15 Punkte beträgt, so würfle noch einmal; anderenfalls beende deinen Zug sofort!

Was bewirkt diese Faustregel nun und warum ist sie nicht optimal?

Einfach ausgedrückt:

Diese Regel maximiert den Ertrag pro einzelnem Zug – sie maximiert aber nicht die Gewinnwahrscheinlichkeit des Spielers!

Dies erkennt man leicht an folgendem Beispiel:

Spieler1 ist am Zug und hat noch keinen Siegpunkt; sein Gegner hat aber schon 49 Punkte. Man sieht leicht ein, dass man hier viel mehr als nur 15 Punkte riskieren sollte, da der Gegner schon so nahe am Sieg ist. Bei ptimaler Strategie sollte man hier tatsächlich versuchen ohne abzubrechen in einem Zug die 50 Punkte zu erreichen! (Aber auch das kann man nicht verallgemeinern: Manchmal ist es auch bei einem großen Vorsprung des Gegners besser, nicht zu viel auf einmal zu versuchen …)

In Einzelfällen weicht die Faustregel also extrem von der optimalen Strategie ab – im Mittel über viele Spiele erzielt sie aber nur etwa 5% schlechtere Gewinnwahrscheinlichkeiten!

Um nun die optimale Strategie zu berechnen, vereinfachen wie die Spielregeln noch ein klein wenig:

1)      Der Spieler hat eine 6 gewürfelt: der Zug ist sofort beendet und der Gegner ist am Zug. Die gesamte Zwischensumme dieses Zuges ist verloren!

wird geändert zu

1a) Der Spieler hat eine 6 gewürfelt: der Zug ist sofort beendet und der Gegner ist am Zug. Der Spieler bekommt einen Siegpunkt gutgeschrieben(auch wenn er ohne zu Würfeln abbricht)!

Wir machen diese Änderung im Moment deshalb, um Zyklen zu vermeiden; wir gelangen also im Laufe des Spieles nie zu einem früheren Zustand zurück.

Jetzt können wir uns daran machen und die Gewinnwahrscheinlichkeiten eines Spielers zu maximieren, wenn er am Zug ist; sei

P(i,j,k) = Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, wenn ich <i> Siegpunkte habe, mein Gegner <j> Siegpunkte hat und meine aktuelle Zwischensumme <k> beträgt.

P(i,j,k,W) = Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, wenn ich mich entschieden habe, noch einmal zu Würfeln (i,j,k wie oben).

P(i,j,k,S)   = Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, wenn ich mich entschieden habe, NICHT noch einmal zu Würfeln, also zu Stoppen,  (i,j,k wie oben). Ich habe dann i+k Siegpunkte.

Zu jedem Entscheidungszeitpunkt wähle ich die Aktion W oder S mit der höheren Gewinnwahrscheinlichkeit P(i,j,k,W) oder P(i,j,k,S), also

P(i,j,k) = MAX{ P(i,j,k,W) , P(i,j,k,S) }

Wenn ich stoppe, kommt mein Gegenspieler(der die gleiche Strategie nutzt) dran und ich gewinne nur dann, wenn er verliert:

P(i,j,k,S) = 1 – P(j,i+k,0)   , k > 0

               = 1 – P(j,i+1,0)   , k = 0

Wenn ich weiter würfle, gilt:

P(i,j,k,W) = 1/6 * [ P(i,j,k+1) + P(i,j,k+2) + P(i,j,k+3) + P(i,j,k+4) + P(i,j,k+5) + ( 1 – P(j,i+1,0))]

denn wenn ich eine 1..5 würfle hat sich meine Zwischensumme entsprechend erhöht; wenn ich eine 6 würfle, bekomme ich einen Siegpunkt gutgeschrieben und mein Gegner ist dran, der mit P(j,i+1,0) gewinnt.

Bei den Summanden auf den rechten Seiten der Gleichungen für P(i,j,k,S) und P(i,j,k,W) ist nun entweder der Parameter <k> größer geworden bei gleichem <i> und <j> oder die Summe der Parameter <i> und <j> ist größer geworden! Man kann also die Werte für P(i,j,k,S) und P(i,j,k,W) nacheinander rückwärts berechnen; zuerst die Werte mit maximalem i+j und maximalem k, dann das nächst kleinere k bis k=0, dann die Summe i+j um 1 reduzieren , usw. (Dieses Verfahren nennt man in der Mathematik „dynamische Programmierung“).

Im Beispiel:

P(49,49,0) = 1    (man bekommt ja mindestens einen Punkt und gewinnt)

P(49,j,k) = 1 (dito)

P(48,49,2) = 1   (ich habe ja 48+2 Punkte beim Stoppen)

P(48,49,1,S) = 1 – P(49,49,0) = 1 – 1 = 0

P(48,49,1,W) = 1/6 * [ 1+1+1+1+1+ ( 1 – P(49,49,0)] = 5/6

Also P(48,49,1) = MAX { 0 , 5/6} = 5/6

P(48,49,0,S) = 0  (wenn der Gegner dran kommt, macht er aus 49 Punkten mindestens 50)

P(48,49,0,W) = 1/6 * [P(48,49,1) + 1+1+1+1+ ( 1 – P(49,49,0) ] = 1/6 * [ 5/6 + 4 ] = 29/36

also P(48,49,0) =   29/36 !

usw.

Diese Berechnungen sind langwierig und aufwendig, daher gibt es am Ende auch ein kleines Programm, mit welchem man diese Strategien berechnen und testen kann!

Zuguterletzt möchte ich nun die Regel 1a) von oben wieder fallen lassen und zurück auf Regel 1) gehen. Wir können jetzt tatsächlich auch Schleifen bekommen:

P(i,j,k,W) = 1/6 * [ P(i,j,k+1) + P(i,j,k+2) + P(i,j,k+3) + P(i,j,k+4) + P(i,j,k+5) + ( 1 – P(j,i,0))]

Die Summe der Parameter <i> und <j> auf der rechten Seite ist jetzt größer oder gleich der Summe auf der linken Seite. Trotzdem kann man diese Gleichungen (wenn auch aufwendiger) lösen; ein mögliches (Näherungs-)Verfahren hierzu ist die Werte-Iteration. Wir werden dieses Verfahren hier nicht näher erklären, da das etwas zu weit führen würde; das Programm am Ende dieses Artikels benutzt aber dieses Verfahren.

Im Beispiel:

P(49,49,1) =          1

P(49,49,0,S) =       1  – P(49,49,0);

P(49,49,0,W) =     1/6 * [ 1+1+1+1+1+ ( 1 – P(49,49,0))]  = 1 – 1/6 * P(49,49,0)

P(49,49,0) = MAX { 1 – P(49,49,0) , 1 – 1/6 * P( 49,49,0)} = 1 – 1/6 * P(49,49,0)

Also P(49,49,0) = 6/7 !  ( und damit P(49,49,S) = 1/7 )

(es ist natürlich klar, dass ich immer mindestens einmal Würfeln muss!)

Ein weiteres, kleines Münzwurf-Beispiel:

Eine Münze wird geworfen: Bei Zahl erhält man einen Siegpunkt in die Zwischensumme; bei Kopf geht die komplette Zwischensumme verloren und der Mitspieler ist am Zug. Man kann jederzeit stoppen; wer zuerst 3 Siegpunkte hat, gewinnt!

Anbei alle Wahrscheinlichkeiten P(i,j,k,S) und P(i,j,k,W);

Wahrscheinlichkeiten: I=Ich, G=Gegner, Z=Zwischensumme

I-G-Z == W(Stop)–W(Wurf)

2-2-0 == 33,3%–66,7%

2-1-0 == 60,0%–80,0%

2-0-0 == 77,8%–88,9%

1-2-1 == 33,3%–60,0%

1-2-0 == 20,0%–40,0%

1-1-1 == 60,0%–71,4%

1-1-0 == 42,9%–57,1%

1-0-1 == 77,8%–81,8%

1-0-0 == 63,6%–72,7%

0-2-2 == 33,3%–55,6%

0-2-1 == 20,0%–33,3%

0-2-0 == 11,1%–22,2%

0-1-2 == 60,0%–63,6%

0-1-1 == 42,9%–45,5%

0-1-0 == 27,3%–36,4%

0-0-2 == 77,8%–72,7%—– nur hier

0-0-1 == 63,6%–61,6%—– und hier sind W(Stop) > W(Wurf)

0-0-0 == 45,5%–54,5% 

Nur für den Startspieler ganz am Anfang beim Stand 0:0 lohnt es sich nach dem Wurf einer Zahl zu stoppen; ansonsten sollte man immer weiter spielen!

Damit bin ich nun am Ende; die vollständige Strategie-Beschreibung für das „Schlag den Raab“ Beispiel findet ihr unter diesem Link <HIER>. Hieraus kann man sich selbst verbesserte Faustregeln generieren; z.B. in den in der folgenden Tabelle aufgeführten Fällen weiterwürfeln – sonst stoppen:

(diese Strategie ist im Mittel etwa 1% schlechter als die optimale Strategie)

Mit dem folgenden kleinen Programm könnt ihr Strategien berechnen und gegen den Computer spielen (Genauigkeit der Berechnungen: 0,1%; Strategien können in diesem Rahmen also minimal vom Optimum abweichen)!

Links:

1) T.W. Neller, C.G.M. Presser: Optimal Play of the Dice Game Pig

2) Pig Visualizations

3) T.W. Neller, …: Pedagogical Possibilities for the Dice Game Pig

Autor Michael Tummelhofer Verlag Hans im Glück Verlag erschienen 2008 Anzahl Spieler 2-4 Spielzeit 75 Minuten Wertung

Stone Age: Die Bilanz des Steinzeitalters

analysiert von Walter Sorger

Dass wir hier als Höhlenmenschen in das Steinzeitalter versetzt werden und mittels Ackerbau, Steineklopfen und Hüttenbau die nächste Stufe zivilisatorischen Fortschritts erreichen sollen, steht in der Einleitung. Im Spiel selber fühlt man sich eher als Betriebsingenieur an den Schalthebeln eines Zufallsgenerators.

1. Grundzüge des Spielablaufs

Das Spiel verläuft in mehreren Runden. In jeder Runde verfügt ein Spieler über fünf (später mehr) Pöppel, die Zug um Zug auf den Aktionsfeldern des Spielbretts eingesetzt werden, um dadurch Besitztum zu erwerben, das nach und nach in Siegpunkte verwandelt wird. Es gibt vier Arten von Aktionsfeldern:

1. 1. Auf Materialfeldern erhält man Rohstoffe: Nahrung, Holz, Ziegel, Steine und Gold. Ein Stück Nahrung muss man pro Runde für jeden seiner Pöppel hergeben, die anderen Rohstoffe sind die Grundlage für das Erwerben von Siegpunkten.
   2. Auf Feldern mit Gebäudekarten tauscht man seine Rohstoffe in direkte Siegpunkte um.
   3. Auf Feldern mit Zivilisationskarten erwirbt man gegen Rohstoffe allerlei verschiedene Vorteile, die früher oder später in Siegpunkte umgesetzt werden können.
   4. Auf Potenzfeldern vergrößert man seinen Handlungsspielraum für nachfolgende Aktionen. Es gibt drei Arten davon:
      1. Beim „Werkzeugmacher“ bekommt man ein „Werkzeug“, das beim späteren Würfeln einem zusätzlichen Würfelauge entspricht.
      2. Auf dem „Acker“ erwirbt man das Recht, pro Runde eine zusätzliche Nahrung einzustreichen.
      3. In der „Hütte“ bekommt einen zusätzlichen Pöppel zum Plazieren auf den Aktionsfeldern.

Insgesamt gibt es zehn verschiedene Aktionsfelder. Auf jedem Feld darf eine festgelegte maximale Anzahl von Pöppeln platziert werden, auf den Materialfeldern sind das sieben Pöppel, auf den anderen Feldern ist es genau einer. Wer hier als erster hinsetzt, hat die entsprechend Aktion für sich gebucht, und alle Mitspieler zumindest für eine Runde davon ausgesperrt.

Auf den Materialfeldern darf man pro Spielzug so viele Plätze auf einmal belegen, wie man Pöppel hat. Wer alle seine Pöppel platziert hat, wird für den Rest der Setzrunde übergangen; er muss solange warten, bis auch die Mitspieler ihre Pöppel alle gesetzt haben.

Der Ertrag, den ein Pöppel auf einem Materialfeld einbringt, wird ausgewürfelt. Pro Pöppel gibt es einen Würfel. Die erzielten Würfelaugen werden zusammengezählt und durch die Kosten einer Materialeinheit geteilt. Eine Nahrung kostet 2 Würfelaugen, ein Holz 3, ein Ziegel 4, ein Stein 5 und ein Gold 6. Überzählige Würfelaugen verfallen. Wer z.B. 3 Pöppel auf Ziegel gesetzt hat und dort mit 3 Würfeln insgesamt 11 Augen geworfen hat, bekommt genau 2 Ziegel á 4 Würfelaugen, die restlichen 3 Augen gehen verloren. Hätte er als Pechvogel 3-mal die Eins gewürfelt, wäre er ganz leer ausgegangen.

In der Schlusswertung werden zu den Siegpunkten, die man über Gebäudekarten erworben hat, weitere Siegpunkte ausgeschüttet, die sich aus den unterschiedlichen Kriterien auf den erworbenen Zivilisationskarten ergeben. Allein durch konsequentes Sammeln von Zivilisationskarten mit „Künsten“ kann man sich hier zusätzlich bis zu 64 Siegpunkte gutschreiben lassen. Wer jetzt am meisten Siegpunkte ergattert hat, ist – Sieger.

Dieser Schnelldurchgang durch die Regeln enthält manche Vereinfachung. Wer die Details genauer kennenlernen will, kauft sich am besten gleich das ganze Spiel und liest die acht Seiten Anleitungsbuch sorgfältig durch. Der Schwerpunkt meines Beitrages ist die Würfelmathematik, die bei einem erfolgreichen Spiel in „Stone Age“ unbedingt berücksichtigt werden muss.

2. Würfelmathematik

Würfelt man mit einem normalen Hexa-Würfel, kann man die Augenzahlen 1 bis 6 würfeln, alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Im Durchschnitt wirft man die Augenzahl 3,5. Auf Dauer gesehen kommen alle Zahlen gleich oft vor. Das ist aber schon anders, wenn man mit zwei Würfel würfelt. Die möglichen Augenzahlen reichen von 2 bis 12, dabei kommt bei 36 Würfen die Augenzahl 1 und die 12 nur je einmal vor, die Augenzahl 7 dagegen sechsmal. Bei noch mehr Würfeln nähert sich die Verteilung der Augenzahlen immer mehr einer schönen symmetrischen Glockenkurve. (Heißt die etwa „Gauß“?) Dies ist eine triviale Zockerweisheit. Doch weil das Ergebnis ästhetisch einfach befriedigend ist (und MS-Excel das Zeichnen von alleine übernimmt), möchte ich hier die Verteilungskurven für die Ergebnisse beim Würfeln mit ein bis vier Würfeln wiedergeben.

3. Erwerb von Rohstoffen

Schickt man jeweils 1 Pöppel auf die Jagd, um Nahrung zu besorgen, so erhält man für die gewürfelten Augenzahlen 1 bis 6 folgende Anzahl von Nahrungsanteilen: 0+1+1+2+2+3 = 9. Jeder Pöppel hat dann durchschnittlich 1,5 Nahrung eingebracht. Da eine Nahrung 2 Punkte wert ist, erwürfelt ein einzelner Pöppel bei der Nahrung durchschnittlich 3 Punkte.

Schickt man jeweils 1 Pöppel in die Goldmine und würfelt wieder durchschnittlich je einmal die Zahlen von 1 bis 6, so bekommt man nur jedes sechste Mal ein einziges Goldstück, nämlich für die gewürfelte 6. Alle Würfe mit den Augenzahlen 1 bis 5 bleiben ohne Ertrag. Somit erbringt jeder einzeln gesetzte Pöppel in der Goldmine durchschnittlich nur 1/6 Goldstücke. In Punkten ausgedrückt ist das nur ein einziger Punkt. Fazit: Ein einzelner Pöppel ist bei der Nahrung dreimal so viel wert wie bei Gold!

Schickt man jedoch jeweils 2 Pöppel an die Arbeit, so ändert sich dieses Verhältnis. In der Goldmine sieht die Bilanz wie folgt aus. Bei 36 Würfen erzielt man durchschnittlich 25-mal eine Würfelsumme zwischen 6 und 11 und erhält ein Goldstück. Einmal schafft man sogar eine 12 und bekommt zwei Goldstücke. Insgesamt bringen die 2 Pöppel bei 36 Versuchen 27 Goldstücke mit nach Hause. Jeder einzelne Pöppel hat also eine Erfolgsquote von 0,375 Goldstücken und das sind immerhin schon 2,25 Punkte.

Analoge Betrachtungen kann man für Nahrung, Holz, Ziegel und Stein anstellen, ebensolche für 3 oder mehr Pöppel. Insgesamt ergibt sich daraus folgende Tabelle:

Setzt man in diese Tabelle anstelle der Rohstoffe ihren Punktwert ein (Nahrung = 2 Punkte, …, Gold = 6 Punkte), so erhält man folgende Tabelle, die den Punktwert angibt, den 1 bis 7 Pöppel mit nach Hause bringen, wenn sie gemeinsam an einer Rohstoffquellen eingesetzt wurden:

Diese Tabelle in eine Grafik gegossen ergibt folgendes Bild. Wie ein Würfelzocker erwartet, nähern sich alle Kurven dem Wert 3,5, was dem Durchschnitt der Augenzahl eines normalen Hexa-Würfels entspricht.

Die durchschnittlichen Erträge der einzelnen Pöppel erfahren eine weitere Veränderung, wenn man seine Leute mit Werkzeugen ausrüstet, d.h. wenn man zu allen ihren Würfen von vorneherein eine konstante Augenzahl hinzuzählen darf. Für jede Anzahl von Werkzeugen ergibt sich eine eigene Tabelle. Nur zur Demonstration dieses Effektes wollen wir uns auf die Anzahl von 3 Werkzeugen pro Wurf beschränkten.

Als Zahlenwerte erhalten wir jetzt folgende Tabelle:

Als Grafik ergibt sich dabei folgendes Bild. Auf den ersten Blick ist hier überraschend, dass die Kurven fallen. Das liegt daran, dass sich die eingesetzten Pöppel die verfügbaren Werkzeuge teilen müssen und somit jeder nur eine entsprechenden Bruchteil ihrer Wirkung mitbekommt. Insgesamt aber verlaufen hier alle Ertragslinien deutlich höher als für die Pöppel ohne Werkzeug.

Ausgehend von der bekannten Verteilung der Augenzahlen beim Würfeln könnte man jetzt eine unbegrenzte Anzahl von Tabellen und Kurven zu den verschiedensten statistischen Fragestellungen herstellen. Z.B. wie viele Pöppel P muss man mindestens einsetzen um bei einer gegebenen Anzahl W von Werkzeugen mit einer gewünschten Sicherheit S eine Mindestanzahl eines bestimmten Materials (Holz, Ziegeln, Steinen oder Gold) zu erwürfeln. Nur exemplarisch will ich hier eine dieser möglichen Kurven angeben. Sie zeigt die Wahrscheinlichkeit für das Erwürfeln von mindestens 2 Goldstücken, abhängig von der Anzahl der eingesetzten Pöppel und der verfügbaren Werkzeuge:

4. Felderpotenz und Potenzfelder

In den folgenden Betrachtungen wollen wir versuchen, alle möglichen Zugoptionen von „Stone Age“ einer Bewertung zu unterziehen und sie in eine optimale Reihenfolge zu bringen. Dazu brauchen wir zunächst eine gemeinsame Einheit, auf die wir alle Besitztümer und Vergünstigungen umrechnen. Als Einheit habe ich „Pöppel“ gewählt.

Beim Umrechnen von Rohstoffen in Pöppel gehe ich davon aus, dass jeweils 3 Pöppel ohne Werkzeug eingesetzt werden, um das entsprechenden Material zu erwerben. Diese Zahl ist zwar etwas willkürlich und sicherlich kritikbedürftig, doch hier haben sich die Ertragskurven schon recht eng an ihre Asymptote angenähert und oft genug muss ein Spieler einen Teil seiner Pöppel auf anderen Aktionsfeldern einsetzen, so dass zum Erwürfeln von Rohstoffen nicht viel mehr Pöppel übrig bleiben. Außerdem haben auch die Mitspieler die begehrtesten Felder für Rohstoffe besetzt und ihren Konkurrenten nicht viele freie Felder übrig gelassen.

Die Umkehrung der blauen Zahlenkolonne in Tabelle 1 liefert den Wert in Pöppeln, die ein jeder Rohstoff kostet. Mit diesen Zahlen können wir anschließend auch noch den Wert der Potenzfelder bestimmen, die sich ja ausschließlich in Vorteilen bei der Pöppelanzahl, bei der Ernährung oder beim Würfeln ausdrücken lassen.

Diese Tabelle liefert ein wichtiges Entscheidungskriterium für den besten ersten Zug jedes Startspielers. Es stehen die Potenzfelder Acker, Hütte und Werkzeugmacher zur Auswahl. Instinktiv ahnen wir, dass es gut sein muss, sich zuallererst hier zu betätigen, denn der Gewinn ist kumulativ, er wirkt sich nicht nur einmal, sondern in jeder Runde aus.

Solange noch genügend Runden bis zum Spielende verbleiben, sind diese Felder besser als jedes andere Aktionsfeld. Und eindeutig heißt hier die Prioritätenreihenfolge: Acker (= Ernährung) geht vor Hütte (= Vermehrung) und vor Werkzeugmacher (= Würfelplus).

5. Gebäude

Gebäude werden direkt in Siegpunkte umgesetzt, indem man die dafür bestimmte Anzahl von Rohstoffen hergibt. Bei „festen“ Gebäude ist Zusammensetzung der abzuliefernden Rohstoffe genau vorgeschrieben ist, bei „variablen“ Gebäuden ist nur die Anzahl der Rohstoffe und die Anzahl verschiedener Rohstoffe, z.B. also „4 Rohstoffe von einer Sorte“, oder „4 Rohstoffe von genau 3 Sorten“.

Je höherwertig die Rohstoffe sind, die man abgeben muss, desto mehr Siegpunkte erhält man dafür. In der folgenden Tabelle sind alle Gebäudekarten mit den zugehörigen Siegpunkten aufgelistet.

In der dritten Spalte „Kosten (in Pöppel)“ ist angegeben, wie viele Pöppel durchschnittlich nötig waren, die entsprechenden Rohstoffe zu erwerben. Der Zahlenwert wurde über die Summierung der Rohstoffe entsprechend den obigen eingeführten Tabellen gebildet. In der vierten Spalte wurden die erworbenen Siegpunkte durch die Anzahl der benötigten Pöppel dividiert. Diese Zahl ist ein Maß für die Effizienz eines eingesetzten Pöppel.

Aus der letzten Spalte mit den Siegpunkten pro Pöppel können wir folgende Schlussfolgerungen ziehen:

1. Die Gebäudekarten mit vielen Rohstoffen sind nützlicher als Gebäude mit wenigen Rohstoffen, sie bringen die meisten Siegpunkte pro Pöppel ein.
   Das war erwartet worden, weil hier der zusätzliche Pöppel zum Erwerben des Gebäudes am wenigsten durchschlägt.
2. Kann man auf einem variablen Gebäude beliebige Rohstoffe eintauschen, so bringt Holz die meisten Siegpunkte pro Pöppel ein, gefolgt von Ziegel, dann von Stein und erst am Ende folgt Gold.
   Das ist vielleicht überraschend, weil Holz ja absolut die wenigsten Siegpunkte ergibt. Allerdings ist das Erwürfeln von billigem Rohmaterial ja auch deutlich effizienter als das von verlustreichem Gold oder Stein. Zumindest gilt das für den Ansatz, den ich gewählt habe, nämlich die Rohstoffe ohne Werkzeuge zu gewinnen. Wer hier z.B. mit einer konsequenten Werkstoffpolitik seine Effizienz für das Erwerben höchstwertiger Rohstoffe entscheidend verbessert, kann die Rangfolge sicherlich wieder umkehren.
3. Die Gebäude mit einer fest vorgeschriebenen Anzahl von Rohstoffen sind die schlechtesten in Bezug auf Siegpunkte pro Pöppel.
   Das war auch zu erwarten, weil diese Gebäude die wenigsten Rohstoffe umsetzen und sich hier der Pöppel zum Erwerben des Gebäudes am stärksten bemerkbar macht. Das hätte aber nicht so sein müssen, denn der Spieldesigner konnte bei diesen Gebäuden die Anzahl der Siegpunkte frei vergeben, und er hätte hier durchaus ganz unterschiedliche Maßstäbe zur Geltung bringen können.

6. Zivilisationskarten

Den Durchschnittswert der Siegpunkte aus obiger Tabelle verwenden wir, um den Siegpunktwert pro Pöppel zu ermitteln. Demnach gilt die Gleichung für den „Pöppel-Faktor“:

Damit können wir jetzt zu jedem beliebigen Spielelement seinen Wert in Siegpunkten berechnen. Dabei ist allerdings nicht so sehr das einzelne Element von Interesse, sondern die Menge der Zivilisationskarten, aus denen wir uns bei unseren Spielzügen ja das jeweils beste auswählen müssen.

Die Zivilisationskarten bringen Vorteile verschiedenster Art. Um eine Prioritätenreihenfolge aufstellen zu können, bringen wir alle diese Vorteile in die neu bestimmte und einleuchtende Einheit „Siegpunkte“. Beim Wert der verschiedenen Rohstoffe multiplizieren wir ihren oben eingeführten Gegenwert in Pöppeln mit dem Pöppel-Faktor und erhalten damit ihren jeweiligen Wert in Siegpunkten.

Bei den Zivilisationskarten, die Siegpunkte für verschiedene Spielelemente vergeben, ist der wirkliche Wert noch abhängig von der Anzahl der Elemente, die ein Spieler bis zum Spielende aufgesammelt hat. Hier gehe ich von folgendem Endstand aus.

Diese Annahmen beruhen auf meiner bisherigen Erfahrung mit dem Spiel und sind natürlich wieder diskussionsbedürftig. Doch in der Größenordnung werden diese Zahlen wohl stimmen. Wer bessere Zahlen kennt, kann sich selber leicht eine korrigierte Tabelle zusammenstellen.

Setzt man jetzt bei allen Begünstigungen durch eine Zivilisationskarte den Zahlenwert in Siegpunkten ein, so ergibt sich folgende Rangfolge (absteigend):

Fazit: Es gibt extreme Unterschiede innerhalb der Wertigkeit von Zivilisationskarten, die wertvollste Karte bringt dreimal so viele Siegpunkte ein wie die billigste. Läppisch sind die Karten mit Einmal-Einkünften an Material oder festen Siegpunkten. Kunst ist meist lohnenswert, zumindest solange die Konkurrenz schläft und einem den Erwerb von vielen verschiedenen Kunstwerken zulässt. Am einträglichsten sind die Zivilisationskarten, die auf den Endbesitz an Pöppeln bzw. Gebäuden ein Mehrfaches an Siegpunkten ausschütten. Hier muss man zugreifen, wann immer man die Möglichkeit dazu hat, auch wenn man mal vier Rohstoffe dafür hergeben muss.

7. Spieltipps

Ergänzend zu den Tipps in der Spielanleitung lassen sich aus diesem Zahlenmaterial folgende weitere Tipps für ein erfolgreiches Bestehen im „Stone Age“ ableiten:

1. 1. Die optimale Reihenfolge beim Besetzen der „Potenzfelder“ in der Mitte des Spielbrettes sind:
      Acker geht vor Hütte geht vor Werkzeugmachen.
      Bis auf wenige Runden vor Schluss ist ein Engagement auf den Potenzfeldern im jeden Fall zu empfehlen.
   2. Holz hält das Steinzeitalter in Bewegung. Man kann es bei jeder Gelegenheit lukrativ einsetzen, insbesondere bei der Auswahl hochwertiger, aber teurer Zivilisationskarten. Deswegen sollte man immer einen genügend großen Vorrat von Holz besitzen. Zehn oder gar mehr Holzstücke kann man schneller loswerden, als es einem lieb ist.
   3. Ziegel und Holz sind beim Eintausch gegen Gebäudekarten die effizientesten Rohstoffe. Wenn man seine überschüssigen Pöppel konsequent in Masse auf diese Erwerbsquellen schickt, sollte man sein Siegpunktkonto am dicksten auffüllen können.
   4. Muss man nicht einen bestimmten Rohstoffen erwerben, sondern will man seine Pöppel mit höchster Effizienz auf irgendwelche Rohstoffe ausschicken, dann setzt am besten alle verfügbaren Pöppel auf eine einzige Rohstoffquelle. So ist der Verlust von nicht-nutzbaren Würfelaugen am geringsten.
   5. Werkzeuge sind rein rechnerisch bei allen Rohstoffen im Durchschnitt gleichviel wert. Ihr größter Nutzfaktor ergibt sich da, wo man mit minimalem (Pöppel-)Aufwand mit sicherer Wahrscheinlichkeit mindestens eine Rohstoffeinheit gewinnen möchte.
      Doch grundsätzlich sollte man die Situation vermeiden, dass man von einem bestimmten Rohstoff genau eine Einheit benötigt. Um hier genügend Erwerbs-Sicherheit zu bekommen, muss man zu viele Pöppel binden.
   6. Sobald man mindestens ein Werkzeug besitzt, sollte man immer auch einen „Abstauber-Pöppel“ pro Runde auf die Jagd schicken. Hier bei der Nahrungsaufnahme kann man alle übrig gebliebenen Werkzeuge am effektivsten ausnützen.
      Hat man durch irgendwelche zufälligen Spielabläufe überreichlich Nahrung im Vorrat, dann sollte man den Abstauber-Pöppel in den Wald zum Holzfällen schicken. Das liefert die zweit-effektivsten Erträge.
   7. Hat man viele Werkzeuge, dann darf man ruhig auch ein einzelnes Pöppel zu den höchstwertigen Rohstoffen wie Steine und Gold schicken. Gegebenenfalls muss man halt alle Werkzeuge verbraten, um wenigstens eine Rohstoffeinheit zu gewinnen. Es ist im Prinzip egal, womit man seine geworfene Augenzahl maximal ausgenutzt.
      Allerdings sollte man dabei auch den Abstauber-Pöppel nicht vergessen. Bleiben dann z.B. durch das zufällige Würfelergebnis beim Gold gleich ganze fünf Werkzeuge nicht nutzbar, so können diese dann wenigstens bei Nahrung und Holz noch weitgehend ausgenutzt werden.

Bei diesen Tipps habe ich ein“Normal“-Vorgehen vorausgesetzt, d.h. ein fürsorgliches Bemühen, seine Pöppel wohlgenährt über die Runden zu bringen. Alternativ dazu gibt es auch noch eine „Hungerstrategie“: Man verzichtet grundsätzlich darauf, Nahrung zu erwerben; man lässt seine Pöppel in jeder Runde hungern und kassiert dafür jeweils zehn Minuspunkte. Stattdessen setzt man seine gesamte Pöppel-Power bei den Rohstoffen ein und macht mit der hier reichlich fließenden Siegpunktkohle den Hunger-Verlust mehr als wett. Hier heißt es möglichst schnell Pöppel vermehren, damit sich das Hungern auch richtig lohnt.

Diese Strategie schafft ganz eine andere Wertigkeit unter den verschiedenen Spielelementen, insbesondere verliert das Potenzfeld „Acker“ total seine Bedeutung und die „Hütte“ wird zum absoluten Favoriten. Doch auf eine weitere Analyse dieser Vorgehensweise habe ich hier verzichte.

8. Schlusswertung

„Stone Age“ ist ein einfaches Spiel. Es gibt nur eine ganze Menge ganz einfacher Dinge zu tun. Es gibt wenige, klare Regeln, die Aktionen der Spieler sind in ihrer Wirkung überschaubar, auch wenn darin zuweilen ein kumulativer Effekt verborgen ist. Der Würfel gibt dem ganzen einen spielerischen Anstrich. Berechnung und Würfel halten sich sehr gut die Waage.

Mit der hier erbrachten Analyse habe ich eigentlich den spielerischen Charakter von „Stone Age“ unterminiert. Es wäre schade, wenn sich jetzt jeder Spieler nur noch mit diesem Tabellenwerk an den Spieltisch setzt. Doch ich musste diese Analyse erstellen, weil es für meinesgleichen unbefriedigend ist, ein mathematisch-statistisches Spiel nur aus dem Bauch heraus anzugehen. Vielleicht darf man es dem Spiel anlasten, dass hier überhaupt solche buchhalterischen Tabellen erstellt werden können. Es gibt zu wenig wirksame, unberechenbare Interaktion der Mitspieler, die einen vorgefassten Spielplan durchkreuzen.

Doch das Spiel funktioniert, es zeigt in Aufbau und Reife die Handschrift eines Meisters, es ist von Anfang bis Ende recht kurzweilig, und wer sich gerne zwei Stunden lang einen Würfel-Optimierungskampf gegen kompetente Mitstreiter leisten will, ist hier gut bedient.

Glück und Unglück in Yspahan

von Günther Rosenbaum

Yspahan ist ein Spiel von Sebastian Pauchon, das im Oktober 2006 im Ystari-Verlag erschienen ist.

Eine Rezension dieses Spieles ist auf unserer Homepage an anderer Stelle zu finden – hier möchte ich mich nur mit dem sehr originellen und innovativen Würfelmechanismus beschäftigen und die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten verschiedener interessanter Würfelkonstellationen berechnen.

Der Würfelmechanismus

Standardmäßig würfelt man mit 9 Würfeln – man kann aber gegen Abgabe von Gold bis zu 3 weitere Würfel kaufen.

Der Würfelwurf wird nun sortiert: Alle 1er zusammen, alle 2er, …, alle 6er. Dann werden diese Würfelgruppen auf das rechts abgebildete Tableau abgelegt:

• • Die Gruppe mit dem niedrigsten Wert kommt auf die unterste Zeile mit dem „Kamel“
  • Die nächst höhere Gruppe kommt auf die nächste Zeile mit dem „Sack“.
  • usw…
  • Die Würfelgruppe mit dem höchsten Wert wird allerdings ganz nach oben zu dem Gold gelegt!

Ein Beispiel von so einem Würfelergebnis sieht man im Bild rechts: Man erkennt hier, dass unterhalb der Zeile „Gold“ Lücken entstehen können.

Wie hoch ist jetzt aber die Wahrscheinlichkeit, dass auf der „Vase“ ein, zwei oder sogar 3 Würfel zu liegen kommen?

und

Wie erhöht sich diese Wahrscheinlichkeit, wenn ich zu den 9 standardmäßig zur Verfügung stehenden Würfeln 1 bis 3 Würfel hinzukaufe?

Bei der Planung der eigenen Spielstrategie muss man diese Ereignisse in etwa abschätzen können – daher werde ich die berechneten Wahrscheinlichkeiten hier aufführen. Bei der Planung muss man natürlich berücksichtigen, welche „Gebäudeeigenschaften“ man zusätzlich nutzen kann, und dass man gegen Abgabe einer „Karte“ die Größe einer Würfelgruppe künstlich um 1 erhöhen kann.

Erläuterung zu den folgenden Tabellen

Dies ist eine Tabelle für den Wurf mit 9 sechsseitigen Würfeln (9 W6); alle Zahlenwerte sind auf ganzzahlige Prozentwerte gerundete Wahrscheinlichkeiten.

Da die Gruppe mit der höchsten Zahl IMMER auf das „Gold“ gelegt wird (außer in dem unwahrscheinlichen Fall eines Wurfes von lauter gleichen Zahlen), ist hier die Wahrscheilichkeit 100%, dass mindestens 1 Würfel dort liegt.

Mindestens 2 Würfel (also 2,3, 4, …oder 9) auf dem Goldfeld findet man noch mit einer Wahrscheinlichkeit von 59%.

Achtung:
Wenn in den Tabellen der Wert 100% auftaucht, so ist dies immer ein gerundeter Wert und in Wirklichkeit irgendetwas zwischen ca. 99,5% und 100%! Aber solche kleinen Unterschiede sind für die Strategiediskussionen völlig uninteressant – daher werden hier alle Wahrscheinlichkeiten immer auf ganze Prozent gerundet.

Tabelle 1 Wahrscheinlichkeiten für den Wurf mit 9 sechsseitigen Würfeln!

Tabelle 2 Wahrscheinlichkeiten für den Wurf mit 10 sechsseitigen Würfeln!

Tabelle 3 Wahrscheinlichkeiten für den Wurf mit 11 sechsseitigen Würfeln!

Tabelle 4 Wahrscheinlichkeiten für den Wurf mit 12 sechsseitigen Würfeln!

Am Anfang des Spieles oder wenn man die „Karawanenstrategie“ verfolgt, braucht man womöglich nur „Masse“ – egal auf welchem der 6 Felder viele Würfel liegen, Hauptsache es sind viele!

Daher die folgende Tabelle 5:

Tabelle 5 Wahrscheinlichkeit für den Wurf von großen Gruppen!

Schlussfolgerungen

Aus den obigen Tabellen mag nun jeder seine eigenen Schlussfolgerungen ziehen und seine Strategien entsprechend anpassen. Auf einige Beobachtungen möchte ich aber trotzdem hinweisen:

Bei fester Würfelanzahl unterscheiden sich die Wahrscheinlichkeiten in den Zeilen für Gold, Kamele, Sack und Fass nur geringfügig ! Als Daumenwert erreicht man dort in etwa mit der Wahrscheinlichkeit 1, 2/3, 1/3 eine Gruppe von mindestens 1, 2 oder 3 Würfeln.

Interessant sind daher die „Kasten-“ und „Vasenfelder“.

Hier stelle ich noch mal in einer gesonderten Tabelle gegenüber, wie sich die Wahrscheinlichkeiten verändern, wenn man zu den 9 Standardwürfeln zusätzliche hinzu kauft:

Tabelle 6 Wahrscheinlichkeit für Würfelgruppen auf dem „Kastenfeld“ bei steigender Anzahl von Würfeln!

Tabelle 7 Wahrscheinlichkeit für Würfelgruppen auf dem „Vasenfeld“ bei steigender Anzahl von Würfeln!

Bei diesen beiden Feldern verändert der Zukauf von Würfeln schon einiges an den Wahrscheinlichkeiten ! (Daumenwert: knapp 10% pro Würfel bei den „min 1“ Werten)

Ãœbrigens

Der Siegpunktwert auf dem Spielplan ist in etwa:

• Sack: 1 bis 1,33
• Fass: 1,33 bis 1,6
• Kasten: 2
• Vase: 3 bis 4

Mit 2 Steinen im „Kastenfeld“ erhält man 4 Siegpunkte – genauso viele, wie mit 1 Stein im „Vasenfeld“. Die Wahrscheinlichkeit, mindestens 2 Würfel im „Kastenfeld“ zu erreichen ist aber durchweg größer, als mindestens 1 Würfel im „Vasenfeld“ zu bekommen. Also werden wohl langfristig im Mittel Steine im „Kastenfeld“ etwas ertragreicher sein als die Steine im Vasenfeld !

Viel Spaß noch bei diesem wirklich schönen Spiel.

Eine vollständige Analyse aller vorgegebenen Startaufstellungen

von Günther Rosenbaum

Das Yucata Brettspiel von Stefan Dorra (erschienen im Hans im Glück Verlag) hatte mich vor ca. 1-2 Jahren ziemlich fasziniert – es hat einfache Spielregel und keinerlei Glückselemente – ist also ein reines Strategiespiel bei welchem allerdings die optimalen Spielzüge nie direkt ersichtlich waren.

Zusätzlich wurde und wird dieses Spiel online im Internet angeboten, z.B. auf der Seite von Kay Eckernkamp. Dort kann man entweder direkt online oder Postspiel mäßig  (jeden Tag ein Zug) sehr schön 2-Personen Partien spielen – die dort dann auch üblicherweise mit einem Hin- und Rückspiel durchgeführt werden, um den Startspieler Vor-/Nachteil auszugleichen (dies war übrigens in den Anfängen von Yucata.de nicht so).

Weiterhin gibt es auch eine PC-Umsetzung von Tobias Schilgen und von mir noch eine Umsetzung für die „Zillions Of Games“ Universalmaschine .

Auf der Yucata Seite von Kay habe ich übrigens unter der UserID Tester eine zeitlang ein PC-Programm getestet; das Ergebnis kann man dort nachlesen – sofern die Kennung noch nicht gelöscht wurde.

Als Mathematiker stellt man sich bei einem solchen Spiel dann sehr schnell die Frage: Wie sieht eigentlich die optimale Strategie aus ? Hat der Startspieler Vor- oder Nachteile ? Wie hoch ist eigentlich der exakte Spielwert der 9 vorgegebenen Startaufstellungen ?

Der Wert/Spielwert einer Yucata Startaufstellung berechnet sich aus der Differenz der Punkte von Spieler 1 und Spieler 2 am Ende des Spieles bei optimalem Verhalten beider Spieler. Laut Spieltheorie gibt es natürlich immer eine Gewinnstrategie für Spieler 1 oder Spieler 2 (bzw. ein Unentschieden).

Hat z.B. Spieler 1 (dies ist immer der Startspieler) gewonnen mit 5 Punkten und Spieler 2 nur 2 Punkte, so ist der Spielwert = 5 – 2 = 3; ein positiver Spielwert heißt also, dass Spieler 1 eine Gewinnstrategie hat!

Hat hingegen Spieler 1 nur 0 Punkte erreicht (negative Endpunktzahl gibt es ja nicht) und Spieler 2 genau 3 Siegpunkte, so ist der Spielwert = 0 – 3 = -3; ein negativer Spielwert heißt also, dass Spieler 2 eine Gewinnstrategie hat!

Wie können wir aber die optimalen Spielzüge bestimmen um dann den Spielwert zu berechnen ?

Hier liefert uns natürlich wieder unser Rechenknecht, der Computer, beste Hilfe.

Der Computer muss in der Rolle des Spielers 1 den Spielwert maximieren und in der Rolle des Spielers 2 in minimieren … und dann heißt es rechnen, rechnen, rechnen.

Eine erste Implementierung des Programms zeigte, dass nach ca. einem Drittel des Spieles der Rest berechenbar war – an ein komplettes Durchrechnen war anfangs allerdings nicht zu denken. Weitere Optimierungen der Suchalgorithmen und frühzeitige Abbruchbedingungen haben dann allerdings die Berechnung des Spielwertes einer kompletten Startaufstellung in den Stundenbereich gebracht – womit die Möglichkeit der Spielwertberechnung also gegeben war.

An ein Onlinespiel mit diesem PC-Programm war allerdings noch nicht zu denken; erst nach Einführung einer vorausberechneten Eröffnungsbibliothek konnte dann die Reaktionszeit auf unter eine Minute gedrückt werden, was damit auch für ein Onlinespiel ausreichend war.

Das PC-Programm werde ich nicht veröffentlichen, um nicht den Onlinespielern den Spaß an der Freude zu verderben.

Hier möchte ich nur einige generelle Aussagen über den Spielwert der vorgegebenen Startaufstellungen veröffentlichen.

Tabelle der Spielwerte aller Startaufstellungen + Zusatzinformationen

Negativer Wert: Spieler 2 hat eine Gewinnstrategie

Positiver Wert: Spieler 1 = Startspieler hat eine Gewinnstrategie

Wert 0: bei optimalem Spiel beider Spieler gibt es ein Unentschieden.

(Karte 6 = Spitze, Karte 7 = Wiederholung)

Bemerkung: Bei 2 aufeinanderfolgenden Fragezeichen zählt das zweite 1 Feld!

Man sieht schon hier, dass überwiegend negative Spielwerte auftauchen : D.h., dass der Spieler 2 bei vielen Startaufstellungen einen Vorteil hat – was auch von den Regeln her plausibel erscheint, denn er kann auf die Züge von Spieler 1 reagieren und so häufig zu Beginn des Spieles die Aufnahme von negativen, blauen Steinen vermeiden.

Nur die Aufstellung „süße Feigen“ ist wirklich fair und ermöglicht bei optimalem Spiel ein unentschieden.  Allerdings ist dieser Weg des optimalen Spieles hier sehr schmal, denn bis zum 11-ten Halbzug gibt es insgesamt nur 6 verschiedene Spielmöglichkeiten – verlässt man einen dieser 6 Wege, so hat sofort der Gegenspieler die Chance, das Spiel für sich zu entscheiden !

Wirbelwind

Bei den Onlinespielen von Yucata wurde auch die Startaufstellung „Wirbelwind“ eingeführt:

Dies ist eine Zufallsaufstellung, bei der die Position der blauen und des roten Steines ausgelost wird. Hierdurch werden natürlich unendlich viele weitere Startaufstellungen generiert, deren Spielwert man natürlich nicht allgemein auswerten kann.

Allerdings habe ich einige Hundert Zufallsaufstellungen mit dem PC generiert und auf positiven oder negativen Spielwert ausgewertet.

Ergebnis: Bei ca. 90% der Partien hat der 2. Spieler wiederum eine Gewinnstrategie; bei 10% der Partien gewinnt dann Spieler 1 oder sie gehen unentschieden aus.

Betrachtet man die Partien, in denen Spieler 1 gewinnt etwas genauer, so sind im Durchschnitt weniger blaue Steine im ersten Spielfelddrittel als laut Durchschnittswert zu erwarten wäre ! Dies legt die Vermutung nahe, dass in solchen Fällen der Spieler 1 im allgemeinen vorlaufen kann und die positiven Steine abräumt und Spieler 2 damit das Nachsehen hat !

Ich wünsche allen Yucata Fans weiterhin viel Spaß, den es sicherlich trotz PC-Programm weiterhin machen wird (wie man an den vielen guten Schachprogramm ja auch sieht) !