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Dominion: Simulation einiger „Killerstrategien“

Teil 4 – Seaside

von Günther Rosenbaum

Seit dem Hype über „Siedler von Catan“ war es klar: Jedes größere Spiel braucht irgendwann einmal eine Seefahrererweiterung! Auch bei Dominion gibt es daher seit Essen 2009 die „Seaside Erweiterung“; diesmal handelt es sich tatsächlich um eine Erweiterung, denn man benötigt die Punkte- und Geldkarten aus einem der ersten beiden Spiele, um die Erweiterung nutzen zu können.

In diesem 4-ten Teil möchte ich daher einige wenige Karten von Seaside etwas genauer betrachten. Es wird in Seaside ein neuer Aktionskartentyp eingeführt: „Dauer-Karten“, welche ihre Wirksamkeit über mehr als nur einen Zug erstrecken.

Der Taktiker

Zuallererst betrachten wird den Taktiker (Dauer-Karte). Beim Ausspielen des Taktikers(Aktionsphase) muss man alle übrigen Karten abschmeißen; zur Belohnung erhält man zu Beginn des nächsten Zuges : + 5 Karten, + 1 Aktion, + 1 Kauf.

Man kann also gewissermaßen anschließend einen Doppelzug durchführen, bei welchen man 10 Karten auf der Hand hält.

Geld-Taktiker(1)-Strategie

Liegt ein Taktiker im Dauerkartenbereich der Spielauslage, so nutze den Taktiker(+ 5 Karten, + 1 Aktion, + 1 Kauf) und kaufe zweimal nach der Priorität Provinz/Gold/Silber. Kaufe eine Provinz, falls du 8 Geld hast. Kaufe einen Taktiker, falls du noch keinen hast und du 5 Geld besitzt. Ansonsten kaufe Gold oder Silber (wie üblich zu Spielende nur noch Siegpunktkarten kaufen).

Simulationen mit mehreren Taktikern zeigen, dass der Kauf von nur genau einem Taktiker wohl die besten Ergebnisse erzielt.

Analysieren wir also die Geld-Taktiker(1)-Strategie für 5 und 4 Provinzen im Solospiel nun detailierter:

Diese Strategie ist also etwas besser als die reine Geldstrategie, da man den „Verschnitt“ beim Kaufen von Karten mit dem Taktiker etwas ausgleichen kann. Verbessern kann man diese Strategie noch, indem man gegen Ende des Spieles auch mit dem Taktiker nur noch Siegpunkte kauft.

Da man mit dem Taktiker ja 10 Karten auf der Hand hält, so liegt es vielleicht nahe, ihn mit 2 Schatzkarten zu kombinieren: Hat man 2 Schatzkarten auf der Hand, so muss man sie entsorgen und darf sich dann 4 Goldkarten oben auf den Nachziehstapel legen!

Geld-Taktiker(1)-Schatzkarte(2)-Strategie

Liegt ein Taktiker im Dauerkartenbereich der Spielauslage, so nutze den Taktiker(+ 5 Karten, + 1 Aktion, + 1 Kauf), nutze die Schatzkarte(falls 2 auf der Hand) und kaufe zweimal nach der Priorität Provinz/Gold/Silber. Nutze die Schatzkarte, falls du 2 auf der Hand hast. Kaufe eine Provinz, falls du 8 Geld hast. Kaufe bis zu einem Limit von 1 Taktiker und 2 Schatzkarten, falls du genügend Geld hast. Ansonsten kaufe Gold oder Silber (wie üblich zu Spielende nur noch Siegpunktkarten kaufen).

Die Feinanalysen ergeben dann:

Durch die Schatzkarten wird die Taktikerstrategie noch einmal verbessert. Allerdings wird die Varianz der Rundenanzahl jetzt recht hoch, d.h. die Kurve der kummulierten Wahrscheinlichkeiten ist um den Mittelwert herum recht flach!

Manchmal hat man also schon recht früh im Spiel beide Schatzkarten gleichzeitig auf der Hand – dann ist die Strategie recht stark. Allerdings kann man dies hier nicht selbst beeinflussen – man ist auf den Zufall angewiesen!

Lassen wir nun unsere beiden neuen Strategien im 2-Personenspiel gegen unsere bekannten Strategien aus den früheren Artikeln antreten:

So wirklich überzeugend sind beide Strategien nicht; insbesondere die hohe zufällige Komponente bei den Schatzkarten mag den echten Strategen wenig überzeugen!

Im Dominion-Blog wird darauf hingewiesen, dass möglicherweise die Schatzkarten in Kombination mit dem Lagerhaus (+1 Aktion, + 3 Karten, 3 Karten abwerfen) recht stark seien. Ich habe das noch nicht getestet, aber es hört sich ganz gut an. Zu bedenken ist allerdings, dass jede Nutzung des Lagerhauses die Anzahl der Karten auf der Hand um 1 reduziert.

Das Piratenschiff

In Seaside sind insgesamt 5 Angriffskarten enthalten. Eine davon ist das Piratenschiff, welches Geldkarten der Mitspieler entsorgt und gleichzeitig virtuelles Geld im eigenen Piratenschiff sammelt.

Piratenschiff(X)mit Geldgrenze(Y)-Strategie

Hast du ein Piratenschiff auf der Hand und weniger als Y Geld auf der Hand (inklusive virtuellem Piratengeld), dann greife die Mitspieler an; ansonsten nutze das virtuelle Piratengeld. Hast du weniger als X Piratenschiffe in deinem Deck, so kaufe nach der Priorität Provinz/Piratenschiff/Silber. Ansonsten kaufe nach der Priorität Provinz/Gold/Silber (wie üblich zu Spielende nur noch Siegpunktkarten kaufen).

Ich variiere nun die Parameter X und Y in einem Solitärspiel, bei dem ich davon ausgehe, dass die Piratenangriffe immer erfolgreich sind; außerdem ignoriere ich hierbei natürlich, dass die Mitspieler durch den Angriff negativ beeinflusst werden.

Man erkennt hier sofort, dass als Geldgrenze(Y) 8 gewählt werden sollte und man 4 bis 5 Piratenschiffe benötigt, um ein im Mittel möglichst kurzes Spiel zu erreichen!

Ich werde nun das Piratenschiff im 2-Personenspiel auch noch gegen einige andere Strategien antreten lassen. Das Ergebnis ist allerdings mit etwas Vorsicht zu genießen, da die anderen Strategien nicht auf den Angriff reagieren können, denn sie wurden ja ohne Berücksichtigung aller Arten von Interaktion definiert! Man beachte aber, dass Piratenangriffe in frühen Phasen häufig auch hilfreich sind, denn sie entsorgen ja zu Spielbeginn Kupfer, welches manchmal sowieso lästig ist!

Das Ergebnis sieht etwas enttäuschend aus!

Nur gegenüber der reinen Geldstrategie ist der Pirat klar überlegen. Zusätzlich scheint sogar die Taktiker(1)-Schatzkarte(2) Strategie vom Piraten am wenigsten gestört zu werden, denn sie ist hier unter den betrachteten Strategien der stärkste Gegner für den Piraten! Allerdings ist der Pirat in etwa gleichstark wie die bisher im 2-Personenspiel starke Kapelle-Labor3 Strategie.

Dass die Angriffsfunktion des Piraten notwendig ist und die reine „Münzsammlung im Piratenschiff“ ohne Entsorgen von gegnerischen Karten zu schwach ist, sieht man in der folgenden Simulation:

Wir modifizieren den Piraten in der Form, dass er keine gegnerische Karte entsorgt, sondern immer beide Karten abwirft (friedlicher Pirat)!

Wie man sieht, ist der friedliche Pirat im 2-Personenspiel im allgemeinen schwächer als der normale Pirat. Zwei Dinge sind allerdings zu beobachten:

Erstens ist Kapelle-Labor3 jetzt wieder sehr stark – sie wurde durch das Entsorgen von Geldkarten wohl sehr stark gestört. Zweitens sieht man den erstaunlichen Effekt, dass TaktikerSchatzkarte2 beim friedlichen Piraten schwächer wird – diese Strategie hatte durch den agressiven Piraten tatsächlich profitiert!

Möglicherweise kann man daraus schließen, dass sich der Taktiker auch ganz gut mit einer Kapelle kombinieren läßt!? Probiert es mal aus!

An diesem Beispiel sieht man also sehr schön, wie sich die Strategien der Mitspieler durch Interaktionskarten sowohl positiv als auch negativ beeinflussen können!

Verlassen wir den friedlichen Piraten nun wieder und betrachten stattdessen einen „fluchenden Piraten“: Der fluchende Pirat entsorgt , wie der friedliche Pirat, im Erfolgsfalle keine gegnerische Karte, sondern schiebt dem Gegner eine Fluchkarte unter (die Kapellen entsorgen natürlich auch Flüche).

Ups!! Der fluchende Pirat ist extrem stark – nur Kapelle-Labor3 kann ihm noch standhalten!

Wir sehen:

Das Piratenschiff aus Seaside ist gut ausgewogen; ohne Angriffsfunktion wäre es wohl etwas zu schwach und bei einer stärkeren Angriffsfunktion, wie dem Fluch, wäre es eigentlich zu stark!

Als Abschluss hier noch eine vergleichende Grafik der Strategien im Solospiel; zu beachten ist, dass die Angriffsfunktion des Piratenschiffs hier nicht berücksichtigt werden kann!

Diese Grafik sollte jedem wieder vor Augen führen, dass alle Aussagen über Strategien hier nur dann gelten, wenn man eine größere Anzahl von Spielen auswertet!

Die Aussage, eine Strategie ist besser als die andere, bedeutet immer nur: Im Laufe von vielen Spielen wird man häufiger mit der einen Strategie gewinnen als mit der anderen. Im Einzelfall kann die langfristig schlechtere Strategie durchaus auch große Siege gegen die bessere Strategie erringen! Die Taktiker-Schatzkarte2 kann manchmal in 14 Runden schon 5 Provinzen besitzen – manchmal hat sie diese nach 24 Runden aber immer noch nicht gesammelt (und irgendjemand anderes hat das Spiel bis dahin schon längst beendet…).

Hiermit endet der vierte Teil meiner Analysen. Ich hoffe, dass sich keine (großen) Fehler eingeschlichen haben und ihr meine Ergebnisse im realen Spiel auch bestätigen könnt.

Die vorgeschlagenen Strategien sind alle recht einfach gehalten; ich habe natürlich verschiedene Modifikationen ausprobiert, allerdings ist nie ausgeschlossen, dass man z.B. das Piratenschiff und auch die anderen Strategien durch geschicktere Anwendung noch verbessern kann. Versucht es mal!

Euch allen wünsche ich weiterhin viel Spaß mit Dominion und allen zukünftigen Erweiterungen!

Günther Rosenbaum, 31.10.09

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Dominion: Simulation einiger „Killerstrategien“

Teil 3 – Intrige

von Günther Rosenbaum

In Teil 1 und Teil 2 dieser Analyse haben wir verschiedene Strategien betrachtet und simuliert, wie viele Runden man braucht um eine vorgegebene Anzahl Provinzen zu erwerben.

Auch für das Basisspiel von Dominion gäbe es noch eine Vielzahl von Karten und Strategien, die man analysieren könnte. In diesem Teil 3 möchte ich allerdings einige Karten aus der ersten Erweiterung „Intrige“ näher betrachten.

Der Verwalter

Zuallererst betrachten wird den Verwalter:

Er ist recht flexibel: Man kann 2 Karten entsorgten oder +2 Geld nehmen oder 2 Karten nachziehen. Je nach Spielsituation kann man also flexibel reagieren!

Geld-Verwalter(X)-Strategie

Kaufe zu Beginn des Spieles X Verwalter. Wenn du einen Verwalter auf der Hand hast, dann nutze ihn wie folgt: hast du mindestens 8 Geld, dann ziehe 2 Karten hast du mindestens 6 Geld, dann nutze +2 Geld ist zu erwarten, dass du nach dem Ziehen von 2 Karten insgesamt mindestens 7 Geld hättest, so ziehe 2 Karten hast du mindestens 4 Geld, dann nutze +2 Geld hast du mindestens 5 Geld im Gesamtbesitz und Flüche, Anwesen oder Kupfer auf der Hand, dann entsorge genau 2 Karten ziehe 2 Karten Mit den nun vorhandenen Handkarten (und eventuell virtuellem Geld) gehe gemäß der Nur-Geld-Strategie vor.

Der Passus „ist zu erwarten, dass du nach dem Ziehen von 2 Karten insgesamt mindestens 7 Geld hättest“ ist wie folgt zu verstehen:

Man kann sich die Anzahl Karten und das enthaltene Geld innerhalb seines Nachziehstapels in etwa merken. Beim Nachziehen einer Karte erhält man also im Mittel „enthaltenes Geld / Anzahl Karten“ Geld. Zweimal dieser Wert plus der Geldwert auf der Hand muss also mindestens 7 ergeben, damit die obige Bedingung zutrifft.

Ich möchte nun im Solospiel den Parameter X = Anzahl Verwalter variieren und bestimmen, mit wie vielen Verwaltern ein möglichst kurzes Spiel entsteht (bis zum Erreichen von 5 Provinzen).

Das kürzeste Spiel mit 16,3 Runden entsteht beim Kauf von 2 Verwaltern!

Wir erinnern uns, dass die Nur-Geld-Strategie bei 5 Provinzen ca. 19 Runden benötigt – damit können wir vermuten, dass die Geld-Verwalter(2)-Strategie wohl besser ist.

Analysieren wir die Geld-Verwalter(2)-Strategie für 5 und 4 Provinzen nun detailierter:

Der Handelsposten

Bevor ich nun diese Strategie im 2-Personenspiel betrachte, schauen wir uns noch den Handelsposten an:

„Entsorge 2 Karten aus deiner Hand. Wenn du das machst: Nimm dir ein Silber auf die Hand. Kosten: 5“

Das hört sich auch interessant an; man kann wie bei der Kapelle Karten entsorgen, bekommt aber gleichzeitig als Belohnung noch ein Silber auf die Hand! Allerdings sind die Kosten von 5 recht hoch (damit kann man häufig in den ersten beiden Runden bei einer 3-4 Geldverteilung den Handelsposten nicht kaufen).

Geld-Handelsposten(X)-Strategie

Kaufe zu Beginn des Spieles X Handelsposten. Wenn du einen Handelsposten auf der Hand hast, dann nutze ihn wie folgt: Sei A = die Anzahl von Flüchen, Anwesen und Kupfer auf der Hand; wird im folgenden von „Entsorgen“ gesprochen, so werden zuerst Flüche, dann Anwesen und dann Kupfer entsorgt. Falls A mindestens 2 ist, so entsorge 2 Karten und nimm ein Silber auf die Hand Falls A=1 und du ein Silber auf der Hand hast und du kein Kupfer auf der Hand hast oder nicht genau 8 Geld hast dann entsorge ein Silber und eine weitere Karte und nimm ein Silber auf die Hand. Falls A = 0, dann nutze den Handelsposten nicht Mit den nun vorhandenen Handkarten gehe gemäß der Nur-Geld-Strategie vor.

Wie beim Verwalter bestimme ich nun die optimale Anzahl von Handelsposten und analysiere die Strategie in der Solovariante!

Das kürzeste Spiel mit 17,6 Runden entsteht beim Kauf von genau einem Handelsposten!

Die Feinanalysen ergeben dann:

Der Handelsposten ist recht teuer: Würde er nur 4 Kosten, so würde man 16,2 Runden erreichen und damit sogar etwas weniger als der Verwalter!

Es ist nun an der Zeit, unsere beiden neuen Strategien im 2-Personenspiel gegen unsere bekannten Strategien aus den früheren Artikeln antreten zu lassen:

Man sieht: Der Handelsposten(1) ist recht schwach – vermutlich aufgrund der hohen Kosten. Möglicherweise kann man den Handelsposten aber dann spielen, wenn man in den Eröffnungsrunden die 5-2 Geldverteilung hat!

Der Verwalter(2) ist recht stark – nur Kapelle-Labor3 und Schmiede sind etwas besser!

Der Harem

Der Harem zählt sowohl als Geldkarte als auch als Punktekarte. Damit kann man mit dem Harem Punkte erwerben, welche die Kartenhand nicht blockieren, da sie ja im Spiel als „2 Geld“ genutzt werden können. Der Harem kostet genauso viel wie ein Gold – daher stellt sich schnell die Frage, ob man nicht z.B. in der Geldstrategie immer den Kauf eines Goldes durch einen Harem ersetzen sollte?

Tatsächlich ist eine solche Strategie besser als die reine Geldstrategie; besser ist es aber, wenn man das Ganze kombiniert: Erst nachdem man schon 2 Gold gekauft hat, ersetzt man alle folgenden Goldkäufe durch Haremskäufe! Man muss aber leider feststellen, dass diese Strategie nicht so richtig gut ist – sie ist zwar besser, als die reine Geldstrategie, aber weiterhin schlechter als die Schmiede oder die Kapelle!

Zu guter Letzt hier noch ein paar Informationen zu Angriffs- und Verteidigungskarten. Wir betrachten ein Dominion 2-Personenspiel:

1)

• • Spieler 1 spielt Geld-Burggraben1 Strategie
  • Spieler 2 spielt Geld-Hexe1 Strategie
  • Spieler 1 kauft also möglichst früh einen Burggraben zur Verteidigung, Spieler 2 eine Hexe zum Angriff; ansonsten verfolgen beide die Geldstrategie und nutzen ihre Aktionen!

Ergebnis: In ca. 73% der Spiele gewinnt die Hexe! (Der Burggraben kann zu selten verteidigen; die Flüche können ihre Wirkung entfalten, trotz der hohen Kosten(5) der Hexe)

2)

• • Spieler 1 spielt Geld-Kapelle Strategie (wie in Strategieanalyse )
  • Spieler 2 spielt Geld-Burggraben1 Strategie (wie oben)

Ergebnis: In ca. 52% der Spiele gewinnt die Kapelle (ca. 8% unentschieden)! (Gegen die Schmiede(+3 Karten) hat die Kapelle keine Chance; für den Burggraben(+2 Karten) reicht es gerade!)

3)

• • Spieler 1 spielt Geld-Kapelle Strategie (wie in Strategieanalyse + Entsorgen von Flüchen)
  • Spieler 2 spielt Geld-Hexe1 Strategie (wie oben)

Kann die Kapelle durch das Entsorgen von Flüchen die Hexe neutralisieren?

Ergebnis: In ca. 67% der Spiele gewinnt die Hexe (ca. 3% unentschieden)! (Gegen die „+2 Karten“ gewinnt die Kapelle noch mit 52%; kommt bei der Hexe noch die „Flucheigenschaft“ hinzu, verliert die Kapelle, obwohl sie Flüche entsorgen kann)

4)

Ich hatte im letzten Artikel gefragt, ob nicht doch der Kauf einer Schmiede besser ist, als die teure Hexe. Das muss ich jetzt verneinen – die Hexe gewinnt in 68% der Spiele gegen die Schmiede!

Hiermit ist der dritte Teil meiner Analysen beendet. Wie so häufig wirft jede Antwort über die Güte einer Strategie wieder mehrere neue Fragen auf. Ob in der Zukunft an dieser Stelle weitere Dominion Strategiefragen beantwortet werden, kann ich noch nicht sagen – schaun mer mal!

Euch allen wünsche ich weiterhin viel Spaß mit Dominion und allen zukünftigen Erweiterungen!

Weitergehenden Lesestoff gibt es auch im Dominionblog.

Günther Rosenbaum, 17.10.09

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Dominion: Simulation einiger „Killerstrategien“

Teil 2

von Günther Rosenbaum

In Teil 1 dieser Analyse haben wir verschiedene Strategien als „Solitärspiel“ betrachtet und simuliert, wie viele Runden man braucht um eine vorgegebene Anzahl Provinzen zu erwerben.

Zwei der Strategien aus dem Teil1 möchte ich noch aufgrund einiger Leserkommentare leicht modifizieren, da sie hierdurch nochmal ein gutes Stück verbessert werden können:

Geld-Kapelle-Strategie

Kaufe in der 1. oder 2. Runde eine Kapelle; entsorge mit der Kapelle alle Anwesen und Kupfer bis auf 3 Stück. Wenn du 1 Silber hast, entsorge alle Kupfer bis auf 1. Wenn du 2 Silber oder Gold besitzt, so entsorge auch alle Kupfer. Gehe ansonsten gemäß der Nur-Geld-Strategie vor.

Geld-Kapelle-Labor-Strategie

Nutze das Labor. Kaufe in der 1. oder 2. Runde eine Kapelle; entsorge mit der Kapelle alle Anwesen. Wenn du 2 Silber oder Gold besitzt, so entsorge auch alle Kupfer. Kaufe ein Labor, falls du weniger als 3 Stück hast. Gehe ansonsten gemäß der Nur-Geld-Strategie vor.

Nun könnte man natürlich weitere Strategien definieren und analysieren oder die Auswirkungen von Angriffs- und Verteidigungskarten auf das Solitärspiel berechnen. Zuerst wollen wir uns aber wie angekündigt um das Mehrpersonenspiel mit diesen 6 Strategien kümmern (dabei benutzen wir jetzt immer, ohne dies jeweils noch einmal zu erwähnen, die beiden modifizierten Strategien). Beginnen wir als wichtigstes mit dem 2-Personenspiel (ja, dies ist natürlich wieder ein endliches 2-Personen Nullsummenspiel und die Existenz einer optimalen Strategie ist damit garantiert).

Hier nochmal im Überblick die diskutierten(und modifizierten) Strategien:

2) Das 2-Personenspiel!

Als erstes müssen wir unsere Messmethoden „eichen“ und schauen was passiert, wenn beide Spieler die Nur-Geld-Strategie nutzen:

Spieler1 gewinnt: 26,04% (Spieler 1 ist immer der Startspieler) Spieler2 gewinnt: 42,08% Gleichstand zwischen Platz 1 und 2: 31,88% Spielende mit Spieler x: 50,54% 49,46% Kartenanzahl von Spieler x: 27,46 26,96 Endpunktzahl von Spieler x: 27,73 26,27

Wir benutzen hier die original Regeln für das Spielende:

• • Sofortiges Spielende bei Verkauf der 8-ten Provinz

und die Tiebreaker-Regel:

• • Beendet Spieler1 das Spiel und haben beide Spieler gleich viele Siegpunkte, so gewinnt Spieler2.
  • Beendet Spieler2 mit gleichviel Punkten wie Spieler1das Spiel, so gibt es ein Unentschieden!

In der obigen Simulation fällt auf, dass es sehr viele Unentschieden gibt, und dass erstaunlicherweise Spieler2 16% mehr Spiele gewinnt als sein Konkurrent!?

Ihr ahnt schon woran das liegt?

Ändern wir die Regeln für das Spielende und spielen die letzte Runde noch zu Ende, so dass jeder Spieler gleich häufig dran war. Wir geben dem Spieler2 sogar noch die Möglichkeit, eine 9-te Provinz zu kaufen (Spielende ist, wenn am Rundenende 8 oder mehr Provinzen verkauft wurden).

Spieler1 gewinnt: 25,97% Spieler2 gewinnt: 26,25% Gleichstand zwischen Platz 1 und 2: 47,78% Spielende mit Spieler x: 00,00% 100,00% Kartenanzahl von Spieler x: 27,46 27,45 Endpunktzahl von Spieler x: 27,71 27,73

Jetzt gewinnen Spieler1 und Spieler2 in etwa gleichhäufig und die Anzahl der Unentschieden ist noch einmal um 16% auf fast 50% gestiegen!?

Des Rätsels Lösung: Die 16% waren Spiele, die Spieler1 mit gleich vielen Punkten wie Spieler2 beendet hat und wegen der Tiebreaker-Regel wurde Spieler2 zum Sieger erklärt. Lässt man aber Spieler2 – wie in der 2-ten Simulation – die letzte Runde noch beenden, so kann er fast nie eine weitere (teure) Provinz kaufen und es kommt zum Unentschieden!

Warum gibt es eine so hohe Zahl von Unentschieden?

Nun, wir kaufen in unseren Strategien derzeit nur die effektiven Provinzen als Siegpunkte – Herzogtümer und Anwesen bleiben außen vor. In einem Mehrpersonenspiel beim Kampf um die meisten Siegpunkte müssen wir aber kurz vor Spielende (z.B. wenn wir vermutlich unseren Nachziehstapel nicht mehr aufbrauchen werden) unsere Strategie ändern und nur noch Siegpunkte kaufen – auch wenn es nur noch Anwesen sind. Insbesondere können wir dadurch ein drohendes Unentschieden noch in einem eigenen Sieg umwandeln.

Daher ändern wir alle unsere Strategien folgendermaßen: Wenn ein Spieler 4 Provinzen besitzt, so kauft er ab sofort nur noch Siegpunkte!

Eine Simulation mit original Spielenderegel liefert nun:

Spieler1 gewinnt: 41,86% Spieler2 gewinnt: 41,94% Gleichstand zwischen Platz 1 und 2: 16,20% Spielende mit Spieler x: 50,04% 49,96% Kartenanzahl von Spieler x: 27,49 26,99 Endpunktzahl von Spieler x: 28,91 27,04

Spielen wir wieder die letzte Runde zu Ende, so erhalten wir:

Spieler1 gewinnt: 41,83% Spieler2 gewinnt: 41,79% Gleichstand zwischen Platz 1 und 2: 16,38% Spielende mit Spieler x: 00,00% 100,00% Kartenanzahl von Spieler x: 27,48 27,48 Endpunktzahl von Spieler x: 28,90 28,90

In beiden Fällen gewinnen nun Spieler1 und Spieler2 in etwa gleich häufig; außerdem hat sich die Häufigkeit der Unentschieden drastisch verringert!

Für alle folgenden Simulationen werden wir immer mit diesen im Endspiel verbesserten Strategien arbeiten und, um jeglichen möglichen Startspielervorteil auszuschließen, das Spielende immer erst am Rundenende überprüfen (womit auch das Kaufen einer 9-ten Provinz ermöglicht wird).

Wir werden nun die 6 Strategien Nur Geld, Schmiede, Kapelle, Kapelle-Labor3, Jahrm1-Schmiede2, Jahrm4-Schmiede3 in einem 2-Personenspiel paarweise gegeneinander antreten lassen und jede Paarung eine halbe Millionen mal simulieren.

Als erstes lassen wir die Nur-Geld-Strategie gegen alle 6 Gegner antreten und erhalten folgendes Ergebnis:

Dieses Bild ist nun folgendermaßen zu interpretieren:

Die Nur-Geld-Strategie tritt als Startspieler nacheinander gegen alle 6 Strategien (Spieler 2) an – natürlich auch gegen sich selbst. Die breiten grün/gelb/roten Balken geben die Wahrscheinlichkeit des Startspielers(= Nur-Geld-Strategie) für einen Gewinn(grün), ein Unentschieden(gelb) oder einen Verlust(rot) an. Die schmalen Balken beziehen sich auf die rechte, sekundäre Vertikalachse und bedeuten: mittlere Anzahl Runden bis Spielende(hellgrün), mittlere Anzahl Siegpunkte des Startspielers(blau) und mittlere Anzahl Karten des Startspielers bei Spielende(orange).

Die Jahrm4-Schmiede3 Strategie ist im 2-Personenspiel in etwa gleich gut wie die Nur-Geld Strategie; alle anderen Spielweisen sind besser!

Dies haben wir auch schon bei der Analyse als Solitärspiel vermutet.

Wir sehen aber auch, dass selbst gegen die Kapelle-Labor3 Strategie noch eine Chance von fast 20% für einen Gewinn oder ein Unentschieden besteht!

Die Strategien variieren also aufgrund der verschiedenen Kartenverteilungen im gemischten Nachziehstapel sehr stark, was beim Solitärspiel auch durch die variierende Rundenzahl bei Spielende deutlich wurde.

Schauen wir uns die nächste Strategie an:

Nur die Kapelle-Labor3 Strategie ist geringfügig besser – alle anderen müssen sich geschlagen geben! Die Punkte

bei Spielende sind teilweise über 30, d.h. es wurden wohl 5 Provinzen gekauft.

Die Kapellenstrategie liegt im Mittelfeld – sie schlägt Nur-Geld und Jahrm4-Schmiede3, der Rest ist aber besser.

Kommen wir nun zum Etappensieger:

Die Kapelle-Labor3 Strategie ist besser als alle anderen! Sie hat bei Spielende im Mittel ca. 14 Karten, davon ca. 5 Geldkarten.

Ich behaupte hiermit natürlich NICHT, dass dies die beste Strategie (OHNE Interaktion) ist, denn dies habe ich an keiner Stelle nachgewiesen. Ich vergleiche hier nur 6 Strategien relativ zueinander – nicht mehr und nicht weniger. Unter diesen Strategien und unter den vorgegebenen Simulationsbedingungen ist die Kapelle-Labor3 Strategie die beste.

Aber betrachten wir auch noch die beiden weiteren Spielweisen.

Betrachten wir nun noch einmal die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller Strategien im Überblick, berechnen den Durchschnitt für jede Strategie und sortieren nach diesem Wert:

Wir erhalten also folgende Rangfolge im 2-Personenspiel (in Klammern die Rundenzahl als Solitärspiel):

1. 1. Kapelle-Labor3 (15,52 Runden)
   2. Schmiede (17,33 Runden)
   3. Jahrmarkt1-Schmiede2 (17,93 Runden)
   4. Kapelle (16,99 Runden)
   5. Jahrmarkt4-Schmiede3 (19,2 Runden)
   6. Nur-Geld (19,12 Runden)

Die Nur-Geld-Strategie hat sich also nicht wirklich als Killerstrategie herausgestellt!

Mit Ausnahme der Kapellenstrategie entspricht hier die Reihenfolge in etwa der vermuteten Reihenfolge anhand der mittleren Rundenanzahl als Solitärspiel.

Worin liegt das Problem der Kapellenstrategie? Sie entsorgt zu Beginn auch die 1er Siegpunkte, die ihr dann am Ende fehlen! Obwohl sie etwas früher die vierte Provinz kaufen kann, genügt dies nicht, um diesen Rückstand wieder aufzuholen!

Entsorgt man aber die 1er Siegpunkte mit der Kapelle nicht, so kann man diese Kapellenstrategie getrost vergessen – sie ist dann ziemlich schlecht.

Auch im 2-Personenspiel gilt wie im Solitärspiel weiterhin

• • Schmiede-Strategie: kaufe genau eine Schmiede; eine zweite verschlechtert das Ergebnis.
  • Kapelle-Labor3-Strategie: kaufe genau 3 Laboratorien; mehr oder weniger Laboratorien verschlechtern das Ergebnis.

3) Das 4-Personenspiel !

Das 4-Personenspiel ist noch kürzer als das 2-Personenspiel, da nur mit 12 Provinzen gespielt wird und damit jeder Spieler im Mittel nur 3 Provinzen bis Spielende benötigt.

Es könnte daher sein, dass einige Strategien etwas anders zu bewerten sind, da sie ein etwas längeres Spiel benötigen, um sich zu entfalten. Möglicherweise sind hier wieder die besonders minimalistischen Strategien im Vorteil? Oder ändert sich doch nichts im Vergleich zum 2-Personenspiel?

Um dies zu untersuchen, werden wir die oben beschriebenen Strategien unter gleichen Randbedingungen (z.B. Runde immer zu Ende spielen) wieder paarweise gegeneinander antreten lassen: Jeweils 2 Spieler benutzen die erste und zweite Strategie. Da es ein Unentschieden jetzt nicht mehr nur für ersten und zweiten Platz gibt, werden wir diese jetzt etwas anders behandeln: Teilen sich z.B. 3 Spieler den ersten Platz, so bekommt jeder von ihnen ein Drittel Sieg zugeschrieben. In den Grafiken entfällt daher auch die „gelbe“ Zahlenreihe.

Schauen wir uns mal das Ergebnis der Kapelle-Labor3 Strategie an:

Tatsächlich, Kapelle-Labor3 scheint jetzt schlechter zu sein – die Schmiede ist eindeutig besser und Jahrm1-Schmiede2 ist gleich gut!

Es sieht also so aus, als ob die Schmiede jetzt die beste der betrachteten Strategien ist:

Die Schmiede gewinnt im 4-Personenspiel in 2/3 oder mehr Fällen gegen alle anderen Strategien!

Die Spiele sind etwa 2 Runden kürzer als mit 2 Personen; aufgrund ihrer höheren Anzahl an Aktionskarten (jeder Kauf einer Aktionskarte kostet ja eine Runde und muss sich erst später amortisieren) entfaltet die Kapelle-Labor3 Strategie ihre Kraft erst etwas später, dann aber um so heftiger!

Wir machen daher eine Gegenprobe und erhöhen die Anzahl an Provinzen im 4-Personenspiel auf 16 und schauen uns die Auswertung der Schmiede Strategie nochmal an:

Jetzt sind die alten Verhältnisse in etwa wieder hergestellt – Kapelle-Labor3 ist geringfügig besser als die Schmiede!

Ändert man die Anzahl der Laboratorien in der Kapelle-LaborX Strategie, so erhält man bei 2 Laboratorien etwa gleich gute Ergebnisse, ansonsten immer schlechtere Resultate.

Im Solitärspiel haben wir die JahrmX-SchmiedeY betrachtet und berechnet, wie sich die Ergebnisse ändern, wenn man die Anzahl der Jahrmärkte und Schmieden variiert. Das möchte ich hier im 4-Personenspiel auch nochmal wiederholen und lasse JahrmX-SchmiedeY gegen die Schmiede spielen:

Es ergibt sich wieder ein sehr ähnliches Ergebnis: Nur eine Schmiede allein ist wieder die beste Strategie!

Wie im 2-Personenspiel betrachten wir nun noch einmal die Gewinnwahrscheinlichkeiten aller Strategien im Überblick, berechnen den Durchschnitt für jede Strategie und sortieren nach diesem Wert:

Es hat sich nur wenig geändert: Schmiede und Kapelle-Labor3 haben ihren Platz gewechselt, alles andere ist gleich geblieben!

Mit Ausnahme der 4 unterstrichenen Werte in der obigen Tabelle sieht man auch noch eine gewisse Regelmäßigkeit: Eine Strategie, die im Mittel besser ist als eine andere, ist auch in jeder einzelnen paarweisen Kombination besser als die andere!

Beispiel: Jeder einzelne Werte in der Zeile „Kapelle“ ist größer als der darunterliegende Wert in der Zeile „Jahrm4-Schmiede3“.

Wir erhalten also folgende Rangfolge im 4-Personenspiel (in Klammern die Rundenzahl als Solitärspiel mit 5 Provinzen):

1. 1. Schmiede (17,33 Runden)
   2. Kapelle-Labor3 (15,52 Runden)
   3. Jahrmarkt1-Schmiede2 (17,93 Runden)
   4. Kapelle (16,99 Runden)
   5. Jahrmarkt4-Schmiede3 (19,2 Runden)
   6. Nur-Geld (19,12 Runden)

Zum Abschluss werde ich jetzt noch 4-Personenspiele betrachten, bei denen jeder Spieler eine andere Strategie verfolgt; wir erwarten natürlich, dass sich die obige Rangfolge auch hier bestätigt:

Kapelle-Labor3 kann sich gut gegen Jahrm4-Schmiede3 und Nur-Geld durchsetzen, hat aber Schwierigkeiten mit der Schmiede – daher belegt diese Strategie einen hohen Anteil von 2-ten Plätzen.

Die oben angegebene Rangfolge der Strategien bestätigt sich also auch bei diesen Simulationen!

Damit sind wir vorerst ans Ende unserer Analysen angelangt.

Ich möchte nochmal darauf hinweisen, dass die betrachteten Strategien nur einige Beispiele von in Spielerkreisen häufig erwähnten Spielweisen sind. Es wird an keiner Stelle behauptet, dass diese optimal sind oder es keine besseren gäbe.

Eine ganz wesentliche Vereinfachung der Analysen bestand darin, die Auswirkung von Angriffskarten und Interaktion ganz wegzulassen; in einem Spiel mit vielen Angriffskarten müssen die Strategien sicherlich angepasst werden.

Der Käufer einer Angriffskarte wird sich (gerade im Mehrpersonenspiel)aber immer fragen müssen, ob der Kauf von z.B. einer Hexe(+2 Karten) wirklich sinnvoller ist als der Kauf einer Schmiede(+3 Karten) ! Diese Frage werden wir ihm hier noch nicht beantworten …

Viel Spaß mit Dominion und allen kommenden Erweiterungen,

Günther Rosenbaum, 15.2.09

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von Günther Rosenbaum

Mittlerweile begeistert Dominion schon viele Spieler (mich auch) – und wie immer in so einem Fall, gibt es auch schon viele Analysen, Strategien, Vorschläge für Killerstrategien und unbewiesene Behauptungen über gute und schlechte Strategien im Internet.

Dies hat mich dazu angeregt, mittels „Monte Carlo Methoden“ einige objektive Zahlen zur Diskussion beizusteuern (solche Ansätze gibt es hier und da auch schon an anderer Stelle im Internet, z.B. auf http://www.boardgamegeek.com/boardgame/36218 oder http://das-spielen.de/index.php/category/spiele/strategie-und-taktik/): Mittels eines kleinen Java-Simulationsprogrammes werden einige Strategien 1.000.000 mal auf dem PC simuliert und statistische Aussagen hieraus abgeleitet!

Teil 1: Betrachtung der Strategien als Solitärspiel!

Über die Menge der Interaktionsmöglichkeiten in Dominion wurde schon viel gestritten und einige Spieler finden diese sogar zu gering. An dieser Stelle soll daher auf Interaktionen gänzlich verzichtet werden (d.h. ohne Angriffskarten) und stattdessen versucht werden, möglichst schnell eine vorgegebene Anzahl Provinzen (=6 Punkte) zu kaufen! Dieses kann dann zur Bewertung der Strategien in einem Mehrpersonenspiel dienen, denn auch hier ist es ganz wichtig, das Timing zu beachten: Es gilt bei Spielende, z.B. Verkauf aller Provinzen, die meisten Siegpunkte zu besitzen – das Potential eines „Killerdecks“ in späteren Phasen ist dann unerheblich.

Außerdem ist die Anzahl der zusätzlichen Siegpunkte beschränkt (Ausnahme „Gärten“): 12*(6+3+1) = 120. Sich frühzeitig einen gehörigen Anteil dieser Punkte zu sichern ist also ein wesentlicher Teil einer jeden guten Strategie!

Betrachten wir zuerst also folgende, häufig im Internet als „Killerstrategie“ bezeichnete „Nur-Geld-Strategie“:

Nur-Geld-Strategie

Kaufe eine Provinz, falls möglich; ansonsten kaufe ein möglichst wertvolles Geld (Gold oder Silber).

Diese Strategie ohne jegliche Aktionskarten ist sehr einfach und doch schon ziemlich stark! Jede andere Strategie wird sich mit dieser Strategie messen müssen!

Meine Simulation ergibt folgende Ergebnisse:

Das Ergebnis ist folgendermaßen zu interpretieren:

Auf der x-Achse ist die Anzahl Runden aufgeführt, in der die Endebedingung (5 Provinzen) erreicht wurde. Betrachten wir die Runde 20: 76,9% aller Spiele dauerten höchstens 20 Runden; die Endpunktzahl dieser Spiele betrug im Mittel 33,00 Punkte; der Spieler besaß am Spielende im Mittel 29,6 Karten!

Die mittlere Rundenanzahl aller Spiele beträgt 19,12!

Die Anzahl der benötigten Runden, um 5 Provinzen zu erreichen, schwankt zwischen 12 und 29; die meisten Spiele enden aber zwischen 17 und 21 Runden. Da man in einem Mehrpersonenspiel selten mehr als 5 Provinzen besitzen wird, so sollte man bei einem Spiel mit wenig Interaktion wohl nicht von mehr als 20 Runden bis Spielende ausgehen.

Betrachten wir nun die Änderung der Berechnung, wenn wir das Spiel schon nach dem Kauf der 4. Provinz beenden:

Die mittlere Rundenanzahl bis Spielende fällt jetzt auf 16,8 (bei 6 Provinzen steigt sie auf 21,43).

Bei dieser Strategie wird man also gegen Spielende in etwa nur jede zweite Runde in der Lage sein eine Provinz zu kaufen! Die Anzahl der Karten steigt trotzdem pro Runde um etwa 1, da man alternativ ja ein Silber oder Gold kauft.

Bleiben wir aber momentan weiterhin bei beim Spielende mit 5 Provinzen und modifizieren wir unsere Geldstrategie etwas: Sobald wir zum ersten mal in der Lage sind eine Provinz zu kaufen, so verweigern wir dies und kaufen stattdessen doch nur ein Gold! In einigen Strategieanalysen wird behauptet, dass dies die Strategie verbessert:

Dies kann ich hier nicht nachvollziehen – die mittlere Rundenanzahl wird geringfügig schlechter. Also. Wenn man 8 Geld auf der Hand hält, so sollte man dafür auch eine Provinz kaufen!

Nehmen wir nun noch eine Schmiede mit in das Deck, um mehr Karten auf die Hand zu bekommen, die „Geld-Schmiede-Strategie“:

Geld-Schmiede-Strategie

Kaufe in der 1. oder 2. Runde eine Schmiede. Gehe ansonsten gemäß der Nur-Geld-Strategie vor.

Die mittlere Rundeanzahl ist hier schon deutlich verbessert worden (bei 4 Provinzen: 14,93, bei 6: 19,69). Allerdings ist hier auch nur genau eine Schmiede hilfreich: Nehme ich eine zweite hinzu, so bleibt das Deck in etwa gleich gut, nehme ich eine dritte hinzu, so wird es sichtbar schlechter.

Die nächste Strategie, die ich betrachten möchte, ist die „Geld-Kapelle-Strategie“:

Geld-Kapelle-Strategie

Kaufe in der 1. oder 2. Runde eine Kapelle; entsorge mit der Kapelle alle Anwesen. Wenn du 2 Silber oder Gold besitzt, so entsorge auch alle Kupfer. Gehe ansonsten gemäß der Nur-Geld-Strategie vor.

Hier versuchen wir, unsere Handkarten von störenden Karten freizuhalten und sie möglichst früh zu entsorgen:

Die mittlere Rundenanzahl ist um knapp 2 Runden gefallen auf 17,44 ; die meisten Partien laufen 15 bis 19 Runden. Mit dieser Strategie sind wir also im Allgemeinen etwas schneller und damit besser als die Nur-Geld-Strategie! In den schnellen Partien hat man die Kupfer und Anwesen schnell entsorgen können und bei 17 Runden hat man am Ende nur ca. 16 Karten im eigenen Deck.

Beendet man das Spiel bei 4 bzw. 6 Provinzen, so dauert das Spiel im Mittel 15,43 bzw. 19,5 Runden. Also auch hier braucht man für eine Provinz mehr oder weniger jeweils 2 Runden. Als Daumenregel erhält man also in etwa: Anzahl Runden = 7,5 + 2 * Anzahl Provinzen.

Wir wollen das Spiel jetzt noch mehr beschleunigen und nehmen noch einige Laboratorien(+2 Karten, + 1 Aktion) mit in unser Kartendeck. Die optimale Anzahl wurde durch Simulationen bestimmt, die „Geld-Kapelle-Labor-Strategie“:

Geld-Kapelle-Labor-Strategie

Nutze das Labor. Kaufe in der 1. oder 2. Runde eine Kapelle; entsorge mit der Kapelle alle Anwesen. Kaufe ein Labor, falls du weniger als 3 Stück hast. Wenn du 2 Silber oder Gold besitzt, so entsorge auch alle Kupfer. Gehe ansonsten gemäß der Nur-Geld-Strategie vor.

Hier versuchen wir, unser Deck ähnlich klein zu halten und durch die „+2 Karten“ Aktion des Labors noch mehr Karten auf die Hand zu bekommen; außerdem können wir durch das Labor weitere Aktionen ausführen.

Die mittlere Anzahl Runden ist hier nochmal gefallen auf 16,03!

Zu- oder wegnehmen eines Labors führt zu einer Verschlechterung der Rundenanzahl – somit sind hier 3 Laboratorien optimal. Auch das Entsorgen von Silber bei genügendem Gold hilft nicht mehr und führt zu gleichen Ergebnissen.

Zum Schluss betrachte ich jetzt noch eine Strategie mit massiverem Aktionskarteneinsatz und „virtuellem“ Geld, die „Jahrmarkt-Schmiede-Strategie“:

Geld- Jahrmarkt(1)-Schmiede(2)-Strategie

Nutze Jahrmarkt und Schmiede maximal. Kaufe Provinzen. Kaufe Jahrmarkt und Schmiede bis zur vorgegebenen Anzahl, sofern möglich – sonst Geld. Nachdem die vorgegebene Anzahl Aktionskarten erreicht wurde, gehe gemäß der Nur-Geld-Strategie vor.

Wir wollen hier zuerst mit einem Jahrmarkt und 2 Schmieden spielen. Jahrmarkt und Schmieden sollen Kettenreaktionen hervorrufen (wenn noch mehr Aktionskarten genommen werden) und zusätzlich soll virtuelles Geld ins Spiel kommen.

Die Kurve ist flacher und die Anzahl der Runden variiert etwas mehr als im vorherigen Bild.

Wir wollen aber nun schauen was passiert, wenn wir die Anzahl der Jahrmärkte und Schmieden jeweils im Bereich von 0 bis 9 variieren und berechnen für jede Kombination die mittlere Anzahl Runden bis zum Erreichen von 5 Provinzen:

In der obigen Grafik sehen wir, wie sich für eine feste Anzahl von Jahrmärkten (die lila Kurve beschreibt z.B. 3 Jahrmärkte) die mittlere Anzahl von Runden verändert, wenn wir zwischen 0 und 9 Schmieden ins Deck mit hinzugeben. Das absolute Minimum dieser Kurvenschar wird bei einer Schmiede und keinem Jahrmarkt erreicht – auch hier sieht man wieder, dass die sehr schnellen Decks mit wenig Aktionskarten auskommen.

Aber auch 4 Schmieden und 5 Jahrmärkte sind in etwas gleich schnell wie das Nur-Geld-Deck! Man kann also auch mit massivem Aktionskarteneinsatz ähnlich schnelle Decks wie mit der Nur-Geld-Strategie aufbauen.

Mit den gleichen Daten – aber mit fester Anzahl von Schmieden und variabler Anzahl von Jahrmärkten – erhält man folgendes Diagramm:

Zur Veranschaulichung betrachten wir hier den exemplarisches Ablauf eines 19-Runden Spieles mit 4 Schmieden und 5 Jahrmärkten:

(„Kauf: nix“ bedeutet: es ist eine Kaufaktion verfügbar, es wird aber nichts gekauft)

Runde 1 – Kauf: Schmiede

Runde 2 – Kauf: Silber

Runde 3 – Kauf: Jahrmarkt

Runde 4 – Kauf: Schmiede

Runde 5 – Kauf: Schmiede

Runde 6 – Kauf: Jahrmarkt

Runde 7 – Kauf: Jahrmarkt

Runde 7 – Kauf: nix

Runde 8 – Kauf: Provinz

Runde 8 – Kauf: nix

Runde 9 – Kauf: Silber

Runde 10 – Kauf: Jahrmarkt

Runde 10 – Kauf: nix

Runde 10 – Kauf: nix

Runde 11 – Kauf: Schmiede

Runde 12 – Kauf: Jahrmarkt

Runde 13 – Kauf: Gold

Runde 13 – Kauf: nix

Runde 14 – Kauf: Provinz

Runde 14 – Kauf: Gold

Runde 15 – Kauf: Provinz

Runde 15 – Kauf: nix

Runde 16 – Kauf: Provinz

Runde 16 – Kauf: Silber

Runde 16 – Kauf: nix

Runde 17 – Kauf: nix

Runde 18 – Kauf: Gold

Runde 19 – Kauf: Provinz

Runde 19 – Kauf: Silber

Zusammenfassung

Betrachten wir nun noch einmal alle oben diskutierten Strategien im Überblick:

Es tritt hier besonders die Strategie mit „einer Kapelle und 3 Laboratorien“ hervor – sie ist sehr schnell und variiert in der Anzahl der Runden nicht so stark. Die Unterschiede der anderen Strategien sind zwar gut erkennbar, jedoch überschneiden sie sich sehr stark.

Genügen diese Unterschiede, um z.B. in einem Zweipersonenspiel signifikante Vorteile der Kapellenstrategie gegenüber der Nur-Geld Strategie zu erkennen? Diese Frage werden wir im zweiten Teil der Analyse beantworten; dort werden wir Mehrpersonenspiele betrachten, die beendet werden, wenn der Stapel der Provinzen leergekauft wurde.

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